Question

A roda da bicicleta dos exercícios anteriores pode ser imaginada como um cilindro

oco de raios interno e externo Rin e Rex, respectivamente. Sendo a massa de uma roda igual a M, quanto vale a energia cinética total (isto é, energia cinética de rotação + energia cinética de translação) de cada roda no período mencionado? Utilize o

parâmetro k = Rin / Rex, caso necessário.

Observação: o momento de inércia de um cilindro oco vale I = (M / 2) . (Rin^2+ Rex^2).

a) (M / 2) . (L / τ)2

b) (M / 4) . (L / τ)2 . (1 + k2)

c) (M / 4) . (L / τ)2 . (3 + k2)

d) (3M / 4) . (L / τ)2

Answer 1

Resposta:

Rotação pura

Vamos pensar em uma situação intrigante. Suponha que você esteja rodando uma manivela que movimenta uma grande roda, como na imagem abaixo:



A roda possui massa  e raio . Você então aplica força na extremidade da manivela, fazendo o disco começar um movimento de rotação. Qual a energia cinética gasta nesse movimento? Se a velocidade angular é .

Ah, moleza a energia cinética é dada por:

Mas pera aí, essa roda tá fixa ou seja o centro de massa dela tem velocidade zero. Então:

Se disséssemos que a energia gasta pra colocar a roda em movimento é nula, você acreditaria? Acho que não, né?

A sua intuição não te enganou! Vamos aprender aqui sobre a energia cinética de rotação, que é usada quando objetos giram e ganham energia. No nosso caso o eixo de rotação está parado, não há movimento de translação, isso é a rotação pura!

Mas o que é o eixo de rotação?

Nada mais é do que o eixo onde o objeto gira em torno, vamos desenhar o objeto em 3 dimensões e definir os eixos pra ver qual é o eixo de rotação.



Na nossa figura o eixo de rotação é o eixo  pois a roda gira em torno dele, e repare que esse eixo não se movimenta, é travado pelo apoio.

Tá, beleza... Mas, como eu calculo essa energia de rotação?

Simples! Só usar a fórmula:

çã

Onde:

çã é a energia cinética de rotação;

 é o momento de inércia do corpo e nesse caso é dado por:

E substituindo os valores do nosso exemplo temos:

e  é a velocidade angular do corpo no instante desejado dado.

Substituindo tudo na nossa fórmulinha, temos:

çã

çã

Com isso podemos dizer que a energia cinética da nossa roda vai ser de!

E se liga para a roda do nosso problema o eixo de rotação está parado e portanto não possui energia de translação, mas em outros corpos como planetas essa energia existe e é calculada como a energia cinética comum:

çã

Isso porquê o eixo de rotação de objetos como planetas se movimenta com o passar do tempo, é a famosa translação.



Em algum momento da sua vida, você talvez tenha ouvido que os planetas fazem o movimento de translação ao redor do Sol e de rotação ao redor do próprio eixo. E como calculamos a energia cinética de um planeta, então? Somando a parcela referente a translação com a parcela referente a rotação:

Conservação de Energia

Mas então, aprendemos que existe uma energia cinética de rotação que é usada quando os objetos rotacionam. Será que podemos usar isso, num caso de conservação de energia mecânica?

Vamos ver um exemplo:

A barra da figura abaixo possui massa  e tamanho  e é presa no nível do chão por uma de suas extremidades. A sua outra extremidade é abandonada e gira até a barra bater no chão. Qual é a velocidade linear da extremidade livre quando chega ao nível do solo? E qual sua velocidade angular no mesmo ponto?



O problema é solucionado por conservação da energia mecânica.

Como no inicio a barra foi abandonada, sua velocidade inicial é zero, então só há energia potencial gravitacional e como a barra é um corpo extenso, levamos em conta os dados em relação ao seu centro de massa. Considerando o chão como o eixo de referência, teremos:

Já pra situação final a gente vai ter a barra no chão e sua velocidade angular final indicada na figura.



Teremos energia cinética rotacional, porque a barra estará girando em torno do seu eixo, não teremos cinética translacional pois esse eixo é fixo, ou seja, temos aqui uma rotação pura.

E não teremos energia potencial gravitacional, já que o centro de massa da barra estará na altura do chão, que é o nosso nível de referência. Logo:

Explicação:

espero ter ajudado