Question

A reta Y:y=2x+1,corta a circunferencia C:(2-x)+ 3-y)=25
em quais pontos?

Answer 1

Resposta:

$\left ( -1,-1 \right )$ e $\left ( \frac{17}{5},\frac{39}{5} \right )$

Explicação passo a passo:

Primeiramente, a equação que você forneceu não é de uma circunferência, e está faltando um parênteses, imagino quer por erro de digitação. Acredito que a equação desta questão fosse $(2-x)^2+(3-y)^2=25$.

Para encontrar os pontos onde a reta corta a circunferência, devemos buscar a interseção entre a reta e a circunferência, que são os pontos nos quais tanto a equação da reta como a da circunferência são atendidas, para isso basta resolver o sistema:

$\left \{ y=2x+1\atop (2-x)^2+(3-y)^2=25 \right.$

(eu não alinhar a equação de cima à esquerda, desculpe...)

Esse sistema assusta um pouco, mas não é tão difícil assim, perceba que na primeira equação ele ja te dá o y isolado, então podemos substituir isso na segunda equação, e ficaremos com:

$(2-x)^2+(3-(2x+1))^2=25$

Certo, agora é uma questão de álgebra, vamos expandir e manipular o lado esquerdo da expressão:

$(2-x)^2+(3-(2x+1))^2=(2-x)^2+(3-2x-1)^2$

$(2-x)^2+(3-2x-1)^2=4-4x+x^2+4-8x+4x^2$

$4-4x+x^2+4-8x+4x^2=5x^2-12x+8$

$5x^2-12x+8=25$

$5x^2-12x-17=0$

(não esqueça que o 25 da quarta linha veio da equação ali de cima, era o lado direito da equação!)

Note que terminamos com uma equação quadrática, ou seja, podemos usar Bhaskara para encontrar os valores de x. Vou pular esta etapa mais simples, e partir para os resultados, que seriam $x_1=-1$ ou $x_2=\frac{17}{5}$ .

A resposta pediu os pontos, então precisamos encontrar o valor de x e y deles. Agora que temos os valores de x de cada ponto (são 2 pontos que buscamos, porque encontramos 2 valores para x), precisamos substituí-lo em alguma das equações do nosso sistema (aquele lá de cima!). A primeira equação $(y=2x+1)$ parece bem mais simples que a segunda, vamos usá-la:

$y_1=2\cdot (-1)+1\Rightarrow y_1=-1$

$y_2=2\cdot \frac{17}{5}+1\Rightarrow y_2=\frac{39}{5}$

Conseguimos o valor de x e y de cada ponto, então a nossa resposta seria:

$P_1=(-1,-1)$ e $P_2=\left ( \frac{17}{5},\frac{39}{5} \right )$

Exercício um pouco trabalhoso, os pontos chave da resolução são:

1. Entender que os pontos que buscamos são as soluções do sistema formado pelas duas equações
2. Saber resolver um sistema envolvendo uma equação linear e uma equação quadrática
3. Saber que para cada valor de x que atende ao sistema existe um valor de y correspondente

Caso tenha dúvidas ou precisa de esclarecimento, pode mandar!