Question

A reta tangente ao gráfico da curva x³+y³=6xy no ponto (3,3) é:

Answer 1

$x^{3}+y^{3}=6xy$


Usando derivação implícita nos dois lados da equação acima, temos

$\dfrac{d}{dx}\left(x^{3}+y^{3} \right )=\dfrac{d}{dx}\left(6xy \right )\\ \\ 3x^{2}+3y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}=6y+6x\cdot \dfrac{dy}{dx}\\ \\ 3y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}-6x\cdot \dfrac{dy}{dx}=6y-3x^{2}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}\cdot \left(3y^{2} -6x \right )=6y-3x^{2}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cdot \left(2y-x^{2} \right )}{3\cdot \left(y^{2}-2x \right )}\\ \\ \boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}}$


A inclinação $m$ da reta tangente no ponto $\left(3,\,3 \right )$, é o valor de $\dfrac{dy}{dx}$ neste ponto, ou seja

$m=\dfrac{dy}{dx}_{\;\left(x,\,y \right )=\left(3,\,3 \right )}\\ \\ m=\dfrac{2\cdot\left(3 \right )-\left(3 \right )^{2}}{\left(3 \right )^{2}-2\cdot \left(3 \right )}\\ \\ m=\dfrac{6-9}{9-6}\\ \\ m=\dfrac{-3}{3}\\ \\ \boxed{m=-1}$


A equação da reta tangente, que passa pelo ponto $\left(3,\,3 \right )$ e tem inclinação $m=-1$ é

$y-3=-1\cdot \left(x-3 \right )\\ \\ y-3=-x+3\\ \\ y=-x+3+3\\ \\ \boxed{y=-x+6}$