Question

A reta tangente a curva y = 1 /x no ponto de abscissa a, com a > 0, e as retas x = 0 e y = 0 determinam um triângulo. Calcule sua área.


(Use DERIVADAS porfavor)

Answer 1

Primero hallemos la pendiente de la recta tangente a la curva y = 1/x, en el punto x = a

           $m=y'|_{x=a}\\ \\ m= \left.-\dfrac{1}{x^2}\right|_{x=a}\\ \\ \\ \boxed{m=-\dfrac{1}{a^2}}$

Además la recta pasa por el punto (a , 1/a), por ello su ecuación es

           $\boxed{y - \dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)}$


Abscisa al origen

           $- \dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)\\ \\ \boxed{x=2a}$


Ordenada al origen

          $y - \dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{a^2}(-a)\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{2}{a}}$


Entonces el área del triángulo es

              $A=\dfrac{1}{2}\left(2a\cdot \dfrac{2}{a}\right)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{A=2}}$