Question

A reta t:2x + y – 5 = 0 é tangente à circunferência de equação x2 + y2
= 5. As coordenadas
do ponto de tangencia são:
a) (1 , 3)
b) (3 , 1)
c) (1 , 2)
d) (2 , 1)

Answer 1

Temos que a equação de uma reta é dada por:

$t : \: 2x + y - 5 = 0$

Temos também a equação de uma circunferência:

$x {}^{2} + y {}^{2} = 5$

A questão nos pergunta qual o ponto em que essa reta toca a circunferência, para isso vamos isolar o "y" da equação da reta e substituir na equação da circunferência:

$2x + y - 5 = 0 \\ y = 5 - 2x$

Substituindo:

$x {}^{2} + (5 - 2x) {}^{2} = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{2} + 25 - 20x + 4x {}^{2} = 5 \\ 5x {}^{2} - 20x + 25 = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 5x {}^{2} - 20x + 25 - 5 = 0 \\ 5x {}^{2} - 20x + 20 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \:$

Resolvendo essa equação bem rapidamente, vemos que a suas raízes são:

$x_1 = 0 \: \: \: e \: \: \: x_2 = 2$

Vamos calcular o ponto de tangência através da substituição dos valores na expressão da equação da reta.

• Para x = 0

$2x + y - 5 = 0 \\ 2.0 + y - 5 = 0 \\ 0 + y - 5 = 0 \\ y = 5$

Temos o seguinte ponto:

$P_1(0,5)$

• Para x = 2:

$2x + y - 5 = 0 \\ 2.2 + y - 5 = 0 \\ 4 + y - 5 = 0 \\y = 5 - 4 \\ \boxed{y = 1}$

Temos então:

$P_2(2,1)$

• Resposta: Ponto de tangência P(2,1).

Espero ter ajudado