Question

A reta R passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela a reta:


$S: \left \{ {{x=2+t} \atop {y=-3t}} \atop {z=-t}\right$


Se P(-3, m, n) ∈ r, determinar m e n

Answer 1

Olá Rafael!

Vou determinar dois pontos de s, fazendo t = 0 e t = 1, assim, encontro os pontos:

$P_1(2,0,0)\\ P_2(3,-3,-1)$

Podemos definir um vetor com origem em P1 e extremidade em P2. Chamando esse vetor de $\vec{a}$

$\vec{a}=OP_2-OP_1=(1,-3,-1)$

Temos que o ponto $B(1, -2, 1)$ está na reta r, e temos que r é paralela a s(logo, r possui uma das direções do vetor a), então, dado um ponto $Q(x,y,z)$ qualquer, o vetor $\vec{BQ}$ é paralelo ao vetor a, logo:

$\vec{BQ} = t\vec{a}\\ \vec{OQ}=\vec{OB}+t\vec{a}$

Ao colocarmos cada vetor em termos da base i, j, k, teremos uma equação relacionando cada valor de t a um valor específico de x. Escrevê-la-ei aqui, mas podes encontrar em qualquer livro-texto sobre vetores:

$x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=(1+t)\vec{i}+(-2-3t)\vec{j}+(1-t)\vec{k}$ 

Se isolarmos x, y e z, teremos as equações paramétricas de r. Logo, para P(-3,m,n) de r, jogamos x = -3 na equação paramétrica de x:

$x=1+t\\-3=1+t \iff t=-4$

Usamos t = -4 em y e z:

$y=-2-3t\\ y = -2+12\\ y=10$
$z=1-t\\ z=1+4\\ z=5$

O ponto P, então, é:

$P(-3,10,5)$

E, portanto:  

$\boxed{m=10, \ \ n = 5}$