Question

A reta r passa pelo ponto A(1,-2,1) e é paralela à reta s: Se P(-3,m,n)∈

Answer 1

Por meio dos cálculos realizado abaixo, podemos dizer com certeza que a reta r é dada por $\bf r : \begin{cases}\bf x = 1 + 2t \\ \bf y = - 2 - 6t \\\bf z = 1 - 2t \end{cases}$ e os valores de m e n são respectivamente $\bf 10 \:\:e\: \:5$

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Explicação

Temos a seguinte reta em formato paramétrico:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: s : \begin{cases}x = 2 + t \\ y = - 3t \\ z = - t \end{cases}$

De acordo com a questão, devemos procurar a equação da reta $\bf r$que passa pelo ponto $\bf A(1,-2,1)$ e é paralela a reta $\bf s$.

• Paralelismo:

Primeiro vamos lembrar que para uma reta ser paralela a outra, o vetor diretor de uma dever ser múltiplo do vetor da outra $\bf v_s = \lambda\cdot v_r$. Como por exemplo o caso em que tem-se o vetor $u =(1,1,1)$ e o vetor $v = (2,2,2)$, é perceptível que $u = 2\cdot v$, uma vez que as coordenadas de v são o dobro das de v.

• Vetor diretor:

O vetor diretor de uma reta no formato paramétrico é dado pelos números que multiplicam o parâmetro t, caso não haja nenhum número, quer dizer que aquela coordenada é 0.

$b : \begin{cases}x = a + k.t \\ y = b +l.t \\ z = c + m.t \end{cases} \: \to \: \: v = (k, \: l, \: m)$

Podemos ver então que o vetor diretor da reta s dada no enunciado é igual a $\bf v_s = (1,-3,-1)$. Tendo este vetor, podemos encontrar o vetor diretor de (r), já que elas devem ser paralelas. Para isso basta estipularmos um valor para a constante $\bf \lambda$ do paralelismo citado anteriormente, onde $v_s = \lambda\cdot v_r$. Digamos então que $\lambda = 2$. Logo:

$v_r=2\cdot v_s \: \: \to \: \: \: \bf v_r=(2, \: - 6, \: - 2)$

• Equação da reta:

Com o vetor diretor e um ponto que passa por esta reta, podemos determinar a sua equação:

$v_r = (2, \: - 6, \: - 2) \: \: e \: \:A(1,-2,1) \\ \\ r : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = - 2 - 6t \\z = 1 - 2t \end{cases}$

Para finalizar a questão, basta encontrar os valores de m e n, sabendo que o ponto P(-3,m,n) pertence a reta, o que quer dizer que podemos substituir os valores dele nas equações paramétrica da reta (r) encontrada anteriormente.

$P(-3,m,n) \: \to \: x = - 3, \: y = m \: e \: z = n \\ \\ r : \begin{cases} - 3 = 1 + 2t \\ m = - 2 - 6t \\ n = 1 - 2t \end{cases} \: \: \to \: \: r : \begin{cases} t= - 2 \\ m = - 2 - 6t \\ n = 1 - 2t \end{cases} \: \: \to \: \:$

Substituindo o valor de t nas outras equações:

$r : \begin{cases} t = - 2 \\ m = 10 \\ n = 5 \end{cases} \: \: \to \: \: P(-3, \: 10, \: 5)$

Espero ter ajudado.

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