Question

A reta r de equação y−x−1 = 0 é tangente
à circunferência de equação x
2+y
2−2x−2y+k = 0. Nessas condições,
calcule o valor de k.

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf{s: y - x - 1 = 0}$

$\sf{x^2 + y^2 -2x -2y + k = 0}$

$\sf{x^2 - 2x + 1 + y^2 -2y + 1 = -k + 1 + 1}$

$\sf{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2 - k}$

$\sf{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$

$\sf{C(1,1)}$

$\sf{r^2 = 2 - k}$

$\sf{r = \sqrt{2 - k}}$

$\sf{d_{C,s} = r}$

$\sf{r = |\:\dfrac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\:|}$

$\sf{\sqrt{2 - k} = |\:\dfrac{(-1).1 + 1.1 - 1}{\sqrt{(-1)^2 + (1)^2}}\:|}$

$\sf{\sqrt{2 - k} = |\:\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\:|}$

$\sf{\sqrt{2 - k} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

$\sf{2\sqrt{2 - k} = \sqrt{2}}$

$\sf{(2\sqrt{2 - k})^2 = (\sqrt{2})^2}$

$\sf{4(2 - k) = 2}$

$\sf{8 - 4k = 2}$

$\sf{4k = 6}$

$\boxed{\boxed{\sf{k = \dfrac{3}{2}}}}$