Question

A reta r de equaçao x+y-3=0 e a circunferência de equaçao (x+2)^2+(y-1)^2=10 são secantes nos ponto A e B. Determine a área do triângulo cujos vértices são o Centro da circunferência e os pontos A e B.

Answer 1

Olá!

Vamos encontrar os pontos A e B através do método da substituição.

Primeiramente, vamos isolar a variável X da reta e, em seguida, substituiremos os valores dentro da equação da circunferência.

Reta => X+Y-3=0

Isolando o X:

X+Y-3=0
X=3-Y


Circunferência => (X+2)²+(Y-1)²=10

Substituindo o valor de X da circunferência pelo da reta:

(X+2)²+(Y-1)²=10
X²+4X+4+Y²-2Y+1=10
(3-Y)²+4(3-Y)+4+Y²-2Y+1=10
9-6Y+Y²+12-4Y+Y²-2Y+5-10=0
2Y²-12Y+16=0
Y²-6Y+8=0

Equação de segundo grau

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -6² - 4 . 1 . 8 
Δ = 36 - 4. 1 . 8 
Δ = 4

Há 2 raízes reais.

2) Aplicando Bhaskara:

y = (-b +- √Δ)/2a
y' = (--6 + √4)/2.1
y' = 8 / 2
y' = 4

y'' = (--6 - √4)/2.1
y'' = 4 / 2
y'' = 2

Já encontramos os dois valores da ordenada da intersectação da reta e a circunferência. Agora vamos encontrar os dois valores para X substituindo os valores de Y na equação da reta.

Para Y=4

X+Y-3=0
X+4-3=0
X+1=0
X=-1

Primeiro Ponto de intersecção entre a reta e a circunferência => A(-1,4)

Vamos encontrar o segundo ponto substituindo o segundo valor de Y que encontramos, na reta.

Para Y=2

X+Y-3=0
X+2-3=0
X-1=0
X=1

Segundo Ponto de intersecção entre a reta e a circunferência => B(1,2)

Já temos os ponto A e B. Agora, vamos encontrar o centro da circunferência.

Circunferência => (X+2)²+(Y-1)²=10

O centro é valor que está dentro dos parênteses, porém com o sinal oposto. Logo;

Centro (-2,1)

Organizando:

Ponto A(-1,4)
Ponto B(1,2)
Ponto C(-2,1)

Para acharmos a área deste triangulo, devemos calcular o determinante dos três pontos acima e, em seguida, aplicarmos o valor do Det. na fórmula do triângulo.

Calculando o determinante do triângulo ABC:

$\left[\begin{array}{ccc}-1&4&1\\1&2&1\\-2&1&1\end{array}\right] \\\\ -4-1+4+2-1+8\\ -6+14\\ Det=8$

Encontramos que o Det. do triângulo ABC vale 8.

Aplicando o valor do Det. na fórmula do triângulo:

$A= \frac{1}{2} Det\\\\ A= \frac{1}{2} (8)\\\\ A= \frac{8}{2}\\\\ A=4$

Pontanto, a área do triângulo ABC vale 4

Answer 2

A solução está no anexo.