A reta r, de equação 4y + 21 = 0, será rotacionada em sentido
anti-horário por P, que é o seu intersecto com o eixo y, até que
r intersecte a circunferência λ, de equação x2 + (y - 1)2 = 25,
pela primeira vez. Esse ponto de intersecção está indicado na
figura por Q.
Sendo a o ângulo de giro de r em torno de P até atingir λ em Q,
tg a é igual a:
a)4/5
b)7/8
c)3/4
d)5/6
e)2/3
Soluções para a tarefa
Resposta:
c) 3/4
Explicação passo-a-passo:
Podemos escrever a equação da reta como:
y=-21/4
e podemos indicar a rotação da seguinte forma:
y = ax - 21/4, onde a é a tg(w) e w será o ângulo de rotação.
para saber os pontos em que a reta (r) cruza com a circulo, podemos substituir o y que encontramos na equação da circulo, e dessa forma encontraremos os valores de x em que a reta e a circunferência se cruzam. Logo obtemos a equação:
x^2 + (y-1)^2 = 25 ; y = ax - 21/4
x^2 + (ax -21/4 -1)^2 = 25
x^2 + (ax - 25/4)^2 - 25 = 0
x^2 + a^2x^2 -(25/2)*ax + 625/16 -25 = 0
(a^2 + 1)x^2 - (25*a/2)x +(625-400)/16 = 0
(a^2 + 1)x^2 - (25*a/2)x + 225/16 = 0
Se o determinante da fórmula de baskara for positivo, a reta cruzara a circunferência em dois pontos, esse não é o caso que queremos;
Se o determinante da fórmula de baskara for negativo, não haverá solução real para o problema;
Logo nosso determinante da fórmula de baskara deve ser igual a 0 para que só haja um valor de x onde a reta e a circunferência se cruzem. Então, sabendo disso temos que:
√(b^2 - 4*a*c) = 0
b^2 - 4*a*c = 0
Os valores a,b e c para nossa equação são:
a = (a^2 + 1); b = 25*a/2; c = 225/16 .
Substituindo esses valores na fórmula acima temos que:
(25*a/2)^2 - 4*(225/16)*(a^2 + 1) = 0
(625a^2)/4 - (225a^2)/4 - 225/4 = 0
(400*a^2)/4 - 225/4 = 0
400*a^2 = 225
a^2 = 225/400
a = +/- 15/20
a = +/- 3/4
Como queremos uma rotação no sentido anti horário a deve ser positivo. Logo a é igual a 3/4.
Como a é igual a tg(w) e w é o ângulo de rotação a resposta para o problema é 3/4.