A reta que passa por A e B na figura é tangente a circunferência de centro em O, origem do plano cartesiano ortogonal, e raio igual a 1 cm.
A) encontre a medida dos ângulos internos do triângulo OAB.
B) Calcule a medida dos segmentos OA e AB.
Soluções para a tarefa
As medidas dos ângulos internos do triângulo OAB são 30º e 90º; As medidas dos segmentos OA e AB são, respectivamente, 2 e √3.
a) De acordo com o enunciado, a reta que passa pelos pontos A e B é tangente à circunferência.
Isso quer dizer que o ângulo entre os segmentos OB e BA mede 90º.
Assim, OBA = 90º.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é definida por S = 180(n - 2).
Então, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a:
S = 180(3 - 2)
S = 180º.
Portanto, a medida do ângulo OAB é igual a:
60 + 90 + OAB = 180
150 + OAB = 180
OAB = 30º.
b) O triângulo OAB é retângulo. Além disso, temos que o cateto OB = 1 e o cateto AB é oposto ao ângulo de 60º.
Utilizando a razão trigonométrica tangente, obtemos:
tg(60) = AB/1
AB = √3 cm.
Para calcularmos a medida da hipotenusa OA, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:
OA² = 1² + (√3)²
OA² = 1 + 3
OA² = 4
OA = 2 cm.