Question

a reta que passa pelos pontos A(a,a+2) e B(1,a-1) tem incliação 45º. A distancia entre A e B é:
a) 5
b) 3 raiz de 2
c) 3
d) 4 raiz de 2
e) 6

Answer 1

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A reta que passa pelos pontos

     $\mathsf{A(a,\,a+2)~~~e~~~B(1,\,a-1)}$

tem inclinação de  45°.  Portanto, o coeficiente angular é o valor da tangente desse ângulo:

     $\mathsf{m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=tg\,45^\circ}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=tg\,45^\circ}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(a-1)-(a+2)}{1-a}=tg\,45^\circ\qquad\quad mas~~tg\,45^\circ=1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\! a-1-\diagup\!\!\!\! a-2}{1-a}=1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-3}{1-a}=1}$

     $\mathsf{-3=1-a}\\\\ \mathsf{a=1+3}\\\\ \mathsf{a=4\qquad\quad\checkmark}$


Logo, as coordenadas dois pontos são
 
     •   $\mathsf{A(4,\,4+2)\quad\Rightarrow\quad A(4,\,6)}$

     •   $\mathsf{B(1,\,4-1)\quad\Rightarrow\quad B(1,\,3)}$


A distância entre  A  e  B  é

     $\mathsf{d=\sqrt{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(3-6)^2+(1-4)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{9+9}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{18}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{3^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{2}}$

     $\mathsf{d=3\sqrt{2}~u.c.}$   <———   esta é a resposta.


Resposta:  alternativa  b)  3√2.


Bons estudos! :-)