Question

A reta que passa pelos pontos A(2,1,3) e B(4,-1,7)

Answer 1

$\boxed{(x,y,z) = (2 + 2t, \: 1 - 2t, \: 3 + 4t)}$

Explicação

Para determinar a reta através de dois pontos no R³, vamos usar um pouco de algebra linear. No enunciado, nos é fornecido os pontos abaixo:

$\: \: \: \: \: \bullet \: \: A(2,1,3) \: \: \: e \: \: \: B(4,-1,7)$

A reta que iremos montar tem a estrutura dada por $R = R_0 + v.t$. Onde (v) é o vetor que da direção e sentido a reta, R0 um ponto conhecido que passe pela reta e t um parâmetro.

• Vetor diretor (v):

Para a determinação de um vetor, basta conhecermos pelo menos dois pontos, já que basta fazer a subtração do final pelo inicial. Como conhecermos justamente A e B, vamos fazer um vetor através deles.

$\vec{AB} = B - A \: \: \to \: \: \vec{AB} = (4,-1,7) - (2,1,3) \\ \boxed{ \vec{AB} = (2, \: - 2, \: 4)}$

Portanto este é o vetor diretor.

• Reta (R):

Como estamos trabalhando no R³, a reta irá possuir (x,y,z), então:

$\: \: \: \: \: \: \: (x,y,z) = R_0 + \vec{AB} .t$

Para o ponto conhecido, vamos utilizar o ponto A.

$\: (x,y,z) = (2,1,3) + (2, \: - 2, \: 4) .t \\ (x,y,z) = (2,1,3) + (2t, \: - 2t, \: 4t) \\ \boxed{(x,y,z) = (2 + 2t, \: 1 - 2t, \: 3 + 4t)}$

Espero ter ajudado

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