Question

a reta que passa pelo ponto (2,1) e forma um angulo de 45 graus com a reta 2x+3y+4= 0 e dada pela equação;

a) 2x-y-3=0 b)x-3y+1=0 c)3x-y-5=0 d)x-5y+3=0

Answer 1

Resposta:

Olá boa noite!

Considere "r" a reta escrita na forma geral:

r: 2x + 3y +4 = 0

A equação dessa reta na forma reduzida será:

3y = -2x - 4

y = (-2/3)x - 4/3

Precisamos agora calcular a equação da reta "s" que passa (2,1) e que é perpendicular a "r".

A forma geral da equação da reta é:

Y - Yo = $m_s$ (X - Xo)

onde:

Xo = 2 ;

Yo = 1 ;

$m_s$ é o coeficiente angular da reta "s" obtido por:

$m_s=-1/m_r$

$m_s =$ 3/2

y - 1 = (3/2) (x - 2)

y - 1 = (3/2)x - 3

2y - 2 = 3x - 6

A reta s na forma geral será:

s: 3x - 2y - 4

Ora, se "r" e "s" são perpendiculares, a reta que passa por (2,1) e forma 45° com essas duas retas é a bissetriz dessas duas retas.

Para determinarmos a reta bissetriz "t" das retas "r" e "s" usamos:

$[A(r)x + B(r)y + C(r)] /$ $\sqrt{A^2_r+B^2_r}$ = $[A(s)x + B(s)y + C(s)] /\sqrt{A^2_s+B^2_s}$

Onde A, B e C são os respectivos coeficientes das retas nas suas formas gerais.

[(2x + 3y+ 4)] / $\sqrt{2^2 + 3^2}$ = [3x -2y - 4] / $\sqrt{(3)^2+2^2}$  

Os denominadores são iguais, portanto podem ser cancelados.

Então:

2x + 3y+ 4 = 3x -2y - 4

3x - 2x - 3y -2y - 4 - 4 = 0

x - 5y - 8 = 0

Na forma reduzida:

-5y = -x + 8

5y = x - 8

y = x/5 - 8

E, finalmente, a reta paralela a "t" que passa por (2,1) será:

y - 1 = 1/5 (x - 2)

y - 1 = 1/5x - 2/5

1/5x - y + 1 - 2/5 = 0

x - 5y + 5 - 2 = 0

x - 5y + 3 = 0

Alternativa D

Answer 2

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que  a reta que passa pelo ponto (2,1) é:   $\large \displaystyle \mathsf{ x -5y + 3 = 0 }$ e tendo alternativa correta a letra D.

Se duas retas  r e s, não verticais, de coeficientes angulares respectivamente a $\textstyle \sf \sf m_r$ e $\textstyle \sf \sf m_s$ângulo agudo de medida $\textstyle \sf \sf \theta$, então:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{\theta } = \left | \dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s} \right | } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P \: (\:2,1\:) \\ \sf s: 2x +3y+4 = 0 \end{cases} } }$

Determinar coeficiente de $\textstyle \sf \sf m_s$:

$\Large \displaystyle \mathsf{2x + 3y + 4 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y = - 2x - 4 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{y = -\:\dfrac{2x}{3} -\: \dfrac{4}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = -\: \dfrac{2}{3} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{\theta } = \left | \dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s} \right | } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{45^\circ } = \left | \dfrac{m_r + 2/3}{1 - m_r \cdot 2/3} \right | } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{1 = \left | \dfrac{m_r + 2/3}{1 - m_r \cdot 2/3} \right | } }$

O probelma admite duas soluções.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = \pm 1 } }$

Primeira solução

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_r + \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{2}{3}\: m_r \times (3) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 m_r + 2 = 3 -2m_r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{3m_r + 2m_r = 3 - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5m_r = 1 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = \dfrac{1}{5} }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m_r( x - x_0) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y -1 = \dfrac{1}{5} \cdot ( x - 2) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{5 y -5 = x - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 2 =5y - 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -5y - 2 +5 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x -5y + 3 = 0 }$

Segunda solução

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m_r + 2/3}{1- \dfrac{2m_r}{3} } = -1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_r + \dfrac{2}{3} = -1 + \dfrac{2}{3}\: m_r \times (3) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 m_r + 2 = -3 +2m_r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{3m_r - 2m_r = -3 - 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = -\: 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m_r \cdot ( x - x_0) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -1= - 5 \cdot ( x - 2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - 1 = -5x +10 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{5x + y -1 - 10 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 5x + y - 11 = 0 }$

De acordo com enunciado pede que uma solução e analisando os item dos resultados que o enunciado deseja alternativa correta é a letra D.

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/2173658