Question

A reta normal a curva x3+y3−9xy=0 no ponto (2,4) possui coeficiente angular igual a:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{m_{normal}=-\dfrac{5}{4}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para determinarmos o coeficiente angular da reta normal à curva em um ponto, utilizaremos derivadas.

Seja a curva: $x^3+y^3-9xy=0$.

O coeficiente angular da reta normal é dado por:

$m_{normal}=-\dfrac{dx}{dy}$

Então, devemos encontrar a derivada da função, em respeito à variável $y$, no ponto especificado.

Derivando ambos os lados, teremos:

$(x^3+y^3-9xy)'=0'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da variável $x$ será calculada pela regra da cadeia.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto é dada por: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

Aplique a regra da soma

$(x^3)'+(y^3)'-(9xy)'=0$

Aplique a regra da potência, da cadeia e do produto

$3x^2\cdot\dfrac{dx}{dy}+3y^2-9\cdot\left(\dfrac{dx}{dy}\cdot y+x\cdot y'\right)=0$

Calcule novamente a derivada da potência e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$3x^2\cdot\dfrac{dx}{dy}+3y^2-9y\dfrac{dx}{dy}-9x=0$

Some os termos semelhantes

$(3x^2-9y)\cdot\dfrac{dx}{dy}+3y^2-9x=0$

Some $9x-3y^2$ em ambos os lados da equação

$(3x^2-9y)\cdot\dfrac{dy}{dx}=9x-3y^2$

Divida ambos os lados da equação por $3x^2-9y$, a fim de isolar $\dfrac{dx}{dy}$.

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{9x-3y^2}{3x^2-9y}$

Calculando o valor desta derivada no ponto $(2,~4)$, teremos:

$\dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{9\cdot2-3\cdot4^2}{3\cdot2^2-9\cdot4}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{18-3\cdot16}{3\cdot4-36}\\\\\\\\ \dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{18-48}{12-36}$

Some os valores

$\dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{-30}{-24}$

Multiplique a fração por $\dfrac{-1}{-1}$ e simplifique

$\dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{30}{24}\\\\\\\\ \dfrac{dx}{dy}(2,~4)=\dfrac{5}{4}$

Então, utilize este valor na fórmula do coeficiente:

$m_{normal}=-\dfrac{5}{4}$

Este é o coeficiente da reta normal à curva neste ponto.