Question

A reta é perpendicular à reta de equação 2x + 5y - 6 = 0 e contém o ponto P (2,1).

Se a interseção da reta r com o eixo das abscissas é o ponto (k,0), o valor de k é:


Resposta correta: 2,4

Answer 1

Uma reta é perpendicular à outra se os seus coeficientes angulares forem, entre si, o oposto de seus inversos. Assim, vamos obter o coeficiente angular da equação dada.

$2x + 5y - 6 = 0 \\ 5y = - 2x + 6 \\ y = - \frac{2x}{5} + \frac{6}{5}$

Agora, perceba que o coeficiente angular vale $-\frac{2}{5}$. Então, o coeficiente angular da outra reta será igual a $\frac{5}{2}$.

Como m = $\frac{5}{2}$ e P(2, 1) faz parte da reta, então sua equação é:

$\boxed{y-y_0=m(x-x_0)}$

Substituindo, fica:

$y-y_0=m(x-x_0) \\ y-1=\frac{5}{2}(x-2) \\ y-1=\frac{5x-10}{2} \\ 5x-10=2(y-1) \\ 5x-10=2y-2 \\ 5x-2y-10+2=0 \\ 5x-2y-8=0$

Interseção entre as retas:

$2x + 5y - 6 = 5x - 2y - 8 \\ 2x - 5x + 5y + 2y = - 8 + 6 \\ - 3x + 7y = - 2 \\ 3x - 7y = 2$

Agora, vamos substituir o ponto (k, 0):

$3x - 7y = 2 \\ 3k - 7.0 = 2 \\ 3k - 0 = 2 \\ 3k = 2 \\ \boxed{k = \frac{2}{3}}$