Question

A reta definida pelas equações paramétricas x = 2t+ 7, y = 3t+ 8 forma um ângulo agudo α com a reta 5x + 11y = 6. Determine α.

Answer 1

Temos as seguintes equações:

$\begin{cases}x = 2t + 7 \: \: e \: \: y = 3t + 8 \\ 5x + 11y = 6\end{cases}$

Primeiro devemos encontrar uma equação que possua "x" e "y" através daquelas duas equações paramétricas da reta, para isso basta isolar o parâmetro (t) de uma delas e substituir na outra:

$x = 2t + 7 \: \: e \: \: y = 3t + 8 \\ x = 2t + 7 \: \: e \: \: t = \frac{y - 8}{3} \\ \\ x = 2. \left( \frac{y - 8}{3} \right) + 7 \: \: \: \: \: \: \: \\ x = \frac{2y - 16}{3} + 7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x = \frac{2y - 16 + 21}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{3x - 2y - 5 = 0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora que temos duas retas no formato ax + by + c = 0, vamos isolar o "y" e encontrar o coeficiente angular das duas retas:

$3x - 2y - 5 = 0 \: \: \: e \: \: \: 5x + 11y - 6 = 0 \\ \\ 2y = 3x - 5 \:\: \: e \: \: \: 11y = - 5x + 6 \\ \\ y = \frac{3x - 5}{2} \: \: \: e \: \: \: y = \frac{ - 5x + 6}{11}$

Pronto, temos os coeficientes angulares, agora basta substituí-los na fórmula:

$\tan( \alpha ) = \left | \frac{ m_{1} - m_{2} }{1 + m_{1} .m_{2} }\right | \\ \\ \tan( \alpha ) = \left | \frac{ \frac{3}{2} + \frac{5}{11} }{1 + \frac{3}{2}. \left( - \frac{5}{11} \right) } \right| \\ \\ \tan( \alpha ) = | \frac{ \frac{33 + 10}{22} }{1 - \frac{15}{22} } | \\ \\ \tan( \alpha ) = \left | \frac{ \frac{43}{22} }{ \frac{22 - 15}{22} } \right| \\ \\ \tan( \alpha ) = \left | \frac{ \frac{43}{22} }{ \frac{7}{22} } \right| \\ \\ \tan( \alpha ) = \left | \frac{43}{7} \right| \\ \\ \tan( \alpha ) = \frac{43}{7} \\ \\ \boxed{ \alpha = \arctg \frac{43}{7} }$

Espero ter ajudado