Question

A reta de equação x-y-4=0, é secante à circunferência de equação x^2+y^2-8x+8y+16=0, determine os pontos de interseção.

Answer 1

Se a reta é secante, haverá dois pontos de intersecção.

Vamos então isolar uma das variáveis ("x" ou "y") na reta e substituir na equação da circunferência:

$Isolando~"x":\\\\\\x-y-4~=~0\\\\\\\boxed{x~=~y+4}\\\\\\Substituindo~na~eq.~da~circunferencia:\\\\\\x^2+y^2-8x+8y+16~=~0\\\\\\(y+4)^2+y^2-8.(y+4)+8y+16~=~0\\\\\\y^2+8y+16+y^2-8y-32+8y+16~=~0\\\\\\2y^2+8y~=~0\\\\\\y^2+4y~=~0\\\\\\y.(y+4)~=~0\\\\\\\boxed{y'~=~0}\\\\\\y+4~=~0\\\\\boxed{y''~=\,-4}$

Vamos agora determinar as coordenadas "x" correspondentes a y' e y'' calculados.

Para isso, basta substituirmos y' e y'' em uma das equações.

$Para~~y'=0:\\\\\\x-y-4~=~0\\\\\\x-y'-4~=~0\\\\\\x-0-4~=~0\\\\\\\boxed{x'~=~4}\\\\\\\\Para~y''=-4:\\\\\\x-y-4~=~0\\\\\\x~-~y''-4~=~0\\\\\\x~-~(-4)~-~4~=~0\\\\\\\boxed{x''~=~0}$

Sendo assim, os dois pontos de intersecção são:

--> (x,y) = (4 , 0)

--> (x,y) = (0 , -4)