Question

A reta de equação 3x – 5y +k = 0 é tangente à circunferência de equação x² + y² = 16. Calcule o valor de k.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Bom dia. Você sabe o que é reta tangente, certo? É a reta que toca uma função (no caso, uma circunferência) em apenas um ponto. Ok...

Para entender sobre retas tangentes a uma circunferência precisamos lembrar das 3 posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência.

• Ponto interno à circunferência: não é possível traçar uma reta tangente por esse ponto.

• Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência.

• Ponto externo à circunferência: por esse ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência.

Portanto, para determinar a equação da reta tangente precisamos  determinar a posição relativa do ponto, ou seja, saber a distância do ponto ao centro da circunferência.  No nosso caso já temos uma reta dada e tangente. Então o ponto de tangência pertence à circunferência e a reta tangente por esse ponto é única.

• A menor distância de um ponto a uma reta é um segmento perpendicular a esta reta;

• A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.

Daí concluímos que a distância da reta tangente ao centro da circunferência deverá ser igual ao raio dessa circunferência.  E nossa circunferência possui raio igual a 4.

Portanto, para determinar a equação da reta tangente, devemos analisar a posição do ponto que traçaremos à reta e com isso calcular a distância da reta que contém esse ponto em relação ao centro da circunferência.

             

Temos que a circunferência possui centro (0,0) e raio = 4.

A reta possui coeficientes: a = 3, b = -5 e c = k.

Aplicando esses dados na fórmula adequada, que está na imagem abaixo, temos:

$\frac{|3*0+(-5)*0+k|}{\sqrt{3^{2}+(-5)^{2} } } =4$

$\frac{|0+0+k|}{\sqrt{9+25 } } =4$

$\frac{|k|}{\sqrt{34 } } =4$

$|k| = 4\sqrt{34}$

Portanto, k = ± $4\sqrt{34}$, e podemos então ter duas retas tangentes à circunferência, uma se k for positivo, outra se k for negativo. De fato, duas retas tangentes à circunferência ou são a mesma reta, ou ocorrem em pontos distintos.

A equação da reta é, portanto,

3x-5y + (± $4\sqrt{34}$) = 0.

Na imagem anexa estão as duas retas para você conferir. Veja que a equação é a mesma, mas foi dividida por 5 para simplificar o y.

Bons estudos.