Question

A reta 2x - y + 4 = 0 determina na circunferência x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma
corda de comprimento igual a:

Answer 1

1º vamos achar a equação reduzida da circunferência

2º vamos isolar Y da reta e substituir na equação da circunferência para encontrar os pontos de interseção em X

3º vamos substituir os pontos na equação da circunferência para achar os pontos em Y

4º Vamos fazer distância entre dois pontos :

1º Equação reduzida da circunferência :

$x^2+y^2 -2x-4y + 1 =0$

$(x-1)^2+(y-2)^2 = 4$

2º Isolando Y da reta e substituindo na equação da circunferência :

$2x - y +4 = 0 \to \fbox{y = 2x+4 }$

substituindo na eq da circunferência :

$(x-1)^2 + (2x+4-2)^2 = 4$

$x^2-2x+1+4x^2+8x+4 = 4$

$5x^2 +6x+1 =0$

$(x+1)(5x+1) = 0$

raízes :

$\displaystyle \fbox{x = -1 } \ e \ \fbox{\displaystyle x = \frac{-1}{5} }$

3º Substituindo os pontos de X na equação da circunferência para achar os pontos em Y :

$\fbox{x = -1} \to (-1-1)^2 +(y-2)^2 = 4$

$\fbox{x = -1} \to (y-2)^2 = 0 \to \fbox{y =2}$

e

$\displaystyle \fbox{\displaystyle x = \frac{-1}{5} } \to (\frac{-1}{5}-1)^2 + (y-2)^2 = 4$

$\displaystyle \fbox{\displaystyle x = \frac{-1}{5} } \to (y-2)^2 = 4-\frac{36}{25 }$

$\displaystyle \fbox{\displaystyle x = \frac{-1}{5} } \to (y-2) = \sqrt{\frac{64}{25 }} \to y = 2 + \frac{8}{5} \to \fbox{\displaystyle y = \frac{18}{5} }$

4º Vamos fazer a distância entre os pontos :

$\displaystyle (-1,2) \ e \ (\frac{-1}{5},\frac{18}{5})$

sendo a distância entre dois pontos dada por :

$D = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

substituindo :

$\displaystyle D = \sqrt{(\frac{-1}{5}-(-1))^2+(2-\frac{18}{5})^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}} \to D = \sqrt{\frac{80}{25}} \to D = \sqrt{\frac{4.4.5}{25}}$

Portanto o comprimento da corda vale :

$\fbox{\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5} }$  

(imagem se quiser ilustrar)