Question

A resultado da equação log3 (2x + 1) - log3 (5x -3) = -1 é:

a) 12
b) 10
c) 8
d) -6
e) 4

Answer 1

Hi !

Resolução

Temos uma equação logarítmica, com o formato de $\sf \red \ell og_ a b = x \to a^x = b$, para resolver uma equação assim é preciso igualar o logaritmo até ele ser  um número real.

$\sf \ell og_3\left(2x+1\right)-\ell og _3\left(5x-3\right)=-1\\\\\\\sf \ell og _3\left(2x+1\right)=-1+\ell og _3\left(5x-3\right)\\\\\\\sf x=\left(2x+1\right)\cdot \:3=5x-3\\\\\\\boxed{\sf x=-6 (\:x\in \mathbb{R})}$

Answer 2

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que $\Large \displaystyle \mathsf{ x = -\; 6 }$ e que é falso pela condição de existência $\Large \displaystyle \mathsf{ b > 0 }$sem solução.  

Assumindo logaritmos complexos (logₐ b), então vale a resposta x = − 6.

Teria alternativa correta a letra D.

Sejam $\boldsymbol{ \displaystyle \sf a }$ e $\boldsymbol{ \displaystyle \sf b }$números reais positivos e $\boldsymbol{ \displaystyle \sf a \neq 1 }$, se $\boldsymbol{ \displaystyle \sf a = b^x }$ expoente $\boldsymbol{ \displaystyle \sf x }$logaritmo de $\boldsymbol{ \displaystyle \sf b }$ na base $\boldsymbol{ \displaystyle \sf a }$.

Condições de existência do logaritmo:

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_a \: b }$  existe quando e somente quando :

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf b > 0 \\\sf a > 0 ~e ~ a \neq 1 \end{cases} } }$

Propriedades dos logaritmos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ L . 1 \quad \log_a\: a = 1 }$

Fazendo  $\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_a\: a = 1 \Rightarrow \backslash\!\!\!{a}^x = \backslash\!\!\!{a} \Rightarrow x = 1 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ L . 2 \quad \log_a\: 1 = 0 }$

Fazendo $\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_a\: 1 = 0 \Rightarrow \backslash\!\!\!{a}^x = \backslash\!\!\!{a}^0 \Rightarrow x = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ L . 3 \quad \log_a\: b^y = y \cdot \log_a \: b }$

Fazendo $\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a \: b = x \Rightarrow a^x = a }$

elevando ao expoente $\boldsymbol{ \textstyle \sf y }$ em ambos membros, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left(a^x \right)^y = b^y \Leftrightarrow b^{xy} = a^y } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ L . 4 \quad \log_a\: b^x = x }$

Pela propriedade $\Large \displaystyle \mathsf{ L . 1 ~e ~ L . 3 }$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a\: a^x = x \cdot \log_a \:a = x \cdot 1 \Rightarrow \log_a\: a = x }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ L . 5 \quad a^{\log_a\:b} = a } }$

Fazendo $\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_a\: b = x \Rightarrow a^x = b \Leftrightarrow a^{\log_a \: b} = a } }$

Outras propriedades dos logaritmos para resolver este enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_a \:\dfrac{b}{c} = \log_a \: b - \log_a \: c } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_3 \: (2x +1) - \log_3 \: (5x-3) = -1 }$

Para resolvê-as aplicaremos, a definição de logaritmo e observando a condição de existência do logaritmo.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2x +1 > 0 \Rightarrow x > - \dfrac{1}{2} \quad (\:I\:) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 5x -3 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{3}{5} \quad (\:I I\:) } }$

( Vide a figura em anexo )

Resolvendo temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_3 \: (2x +1) - \log_3 \: (5x-3) = -1 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_3 \left[ \dfrac{(2x+1)}{(5x-3)} \right] = -\;1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2x+1}{5x-3} = 3^{-1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2x+1}{5x-3} = \dfrac{1}{3} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 \cdot (2x +1) = 1 \cdot (5x -3) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6x + 3 =5x - 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6x-5x = - 3 - 3 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = -\;6 }$

Como a condição de existência é $\boldsymbol{ \displaystyle \sf x > 3/5 }$, então $\boldsymbol{ \displaystyle \sf - \: 6 \notin S }$

Logo, S = { }, ou seja sem solução.

Assumindo logaritmos complexos (logₐ b), então vale a resposta x = − 6.

Teria alternativa correta a letra D.

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