Matemática, perguntado por brunocmonteiro0416, 3 meses atrás

A resultado da equação log3 (2x + 1) - log3 (5x -3) = -1 é:

a) 12
b) 10
c) 8
d) -6
e) 4

Soluções para a tarefa

Respondido por SwiftTaylor
7

Hi !

Resolução

Temos uma equação logarítmica, com o formato de \sf \red \ell og_ a b = x \to a^x = b, para resolver uma equação assim é preciso igualar o logaritmo até ele ser  um número real.

\sf  \ell og_3\left(2x+1\right)-\ell og _3\left(5x-3\right)=-1\\\\\\\sf \ell og _3\left(2x+1\right)=-1+\ell og _3\left(5x-3\right)\\\\\\\sf x=\left(2x+1\right)\cdot \:3=5x-3\\\\\\\boxed{\sf x=-6 (\:x\in \mathbb{R})}


larissagachamine: Olá pode me ajudar na minha última pergunta?
SwiftTaylor: Vou tentar ❤❤
larissagachamine: ok:}
Respondido por Kin07
13

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x = -\; 6   } $ } e que é falso pela condição de existência \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ b > 0   } $ }sem solução.  

Assumindo logaritmos complexos (logₐ b), então vale a resposta x = − 6.

Teria alternativa correta a letra D.

Sejam \boldsymbol{  \displaystyle \sf a  } e \boldsymbol{  \displaystyle \sf b }números reais positivos e \boldsymbol{  \displaystyle \sf a \neq 1 }, se \boldsymbol{  \displaystyle \sf a = b^x  } expoente \boldsymbol{  \displaystyle \sf x }logaritmo de \boldsymbol{  \displaystyle \sf b  } na base \boldsymbol{  \displaystyle \sf a }.

Condições de existência do logaritmo:

\boldsymbol{  \displaystyle \sf \log_a \: b }  existe quando e somente quando :

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  \begin{cases}\sf b > 0 \\\sf a > 0 ~e ~ a \neq 1 \end{cases}  } $ }

Propriedades dos logaritmos:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 1 \quad \log_a\: a = 1 } $ }

Fazendo  \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \log_a\: a = 1 \Rightarrow \backslash\!\!\!{a}^x = \backslash\!\!\!{a}  \Rightarrow x = 1 } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 2 \quad \log_a\: 1 = 0 } $ }

Fazendo \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \log_a\: 1 = 0 \Rightarrow \backslash\!\!\!{a}^x = \backslash\!\!\!{a}^0  \Rightarrow x = 0 } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 3 \quad \log_a\: b^y =  y \cdot \log_a \: b } $ }

Fazendo \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \log_a \: b = x \Rightarrow a^x = a   } $ }

elevando ao expoente \boldsymbol{ \textstyle \sf y } em ambos membros, temos:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \left(a^x \right)^y = b^y \Leftrightarrow b^{xy} = a^y    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 4 \quad \log_a\: b^x = x } $ }

Pela propriedade \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 1  ~e ~ L . 3 } $ }, temos:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \log_a\: a^x = x \cdot \log_a \:a = x \cdot 1 \Rightarrow \log_a\: a = x } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ L . 5 \quad  a^{\log_a\:b} = a  } $ }

Fazendo \Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{\log_a\: b = x  \Rightarrow a^x  = b  \Leftrightarrow a^{\log_a \: b} = a   } $ }

Outras propriedades dos logaritmos para resolver este enunciado:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{\log_a \:\dfrac{b}{c}  = \log_a \: b -  \log_a \: c    } $ }

Dados fornecidos pelo enunciado:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  \log_3 \: (2x +1) - \log_3 \: (5x-3) = -1  } $ }

Para resolvê-as aplicaremos, a definição de logaritmo e observando a condição de existência do logaritmo.

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 2x  +1 > 0  \Rightarrow x > - \dfrac{1}{2} \quad (\:I\:)   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 5x -3 > 0  \Rightarrow x > \dfrac{3}{5} \quad (\:I I\:)   } $ }

( Vide a figura em anexo )

Resolvendo temos:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  \log_3 \: (2x +1) - \log_3 \: (5x-3) = -1  } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \log_3 \left[ \dfrac{(2x+1)}{(5x-3)}  \right]   = -\;1  } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \dfrac{2x+1}{5x-3}  = 3^{-1}   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \dfrac{2x+1}{5x-3}  = \dfrac{1}{3}    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 3 \cdot (2x +1) =  1 \cdot (5x -3)   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 6x + 3 =5x - 3   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 6x-5x  = - 3 - 3   } $ }

\Large \boldsymbol{  \displaystyle \sf x =  -\;6  }

Como a condição de existência é \boldsymbol{  \displaystyle \sf x > 3/5  }, então \boldsymbol{  \displaystyle \sf - \: 6  \notin S }

Logo, S = { }, ou seja sem solução.

Assumindo logaritmos complexos (logₐ b), então vale a resposta x = − 6.

Teria alternativa correta a letra D.

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/49985763

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Anexos:

larissagachamine: Olá pode me ajudar na minha última pergunta?
auzeni78: alguém pode me ajudar por favor é pra manhã
Usuário anônimo: dom
Usuário anônimo: sim
Usuário anônimo: clarooooo
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