Question

A resposta seria tg x , mas gostaria de saber como chegar nessa resposta .

Answer 1

[sec(4π-x).tg(π/2+x).sen(π-x)]/[cossec(5π-x).sen(π+x).cotgx]

Analisando, podemos observar que o secante é o inverso do cosseno. O cossecante é o inverso do seno. A cotangente é o inverso da tangente.

Vale lembrar também das seguintes relações trigonométricas:
sen(a+b) = sena.cosb+senb.cosa
sen(a-b) = sena.cosb-senb.cosa
cos(a+b) = cosa.cosb-senb.sena
cos(a-b) = cosa.cosb+senb.sena

[sec(4π-x).tg(π/2+x).sen(π-x)]/[cossec(5π-x).sen(π+x).cotgx]

Vamos simplificar os senos de (π-x) e (π+x). Já que ambos seguirão um padrão menos complicado de desenvolver. Logo:
sen(π-x) =  senπ.cosx-senx.cosπ = 1.cosx-senx.0 = cosx
sen(π+x) = senπ.cosx+senx.cosπ = 1.cosx-senx.0 = cosx

Substituindo na expressão:
[sec(4π-x).tg(π/2+x).cosx]/[cossec(5π-x).cosx.cotgx]

Agora temos a oportunidade única de "cortar" o cosx no numerador com o cosx do denominador. Ou melhor, dividindo o cosx por cosx, resultando em 1, que multiplicado não interfere em nada, então:

[sec(4π-x).tg(π/2+x)]/[cossec(5π-x).cotgx]

O próximo passo será transformar essa expressão em formas comuns (seno, cosseno e tg).

sec(4π-x).tg(π/2+x).tgx.sen(5π-x) = tg(π/2+x).tgx.sen(5π-x)/cos(4π-x)

Agora vamos desenvolver o seno e o cosseno que apareceram:
Obs: 5π = 900 graus. Para resolver o cos900° lembre-se de estudar redução de quadrante!

sen(5π-x) = sen5π.cosx-senx.cos5π =  0.cosx-senx.-1 = senx
cos(4π-x) = cos4π.cosx+senx.sen4π = 1.cosx+senx.0 = cosx

Substituindo novamente:

tg(π/2+x).tgx.senx/cosx = tg(π/2+x).tgx.tgx = [sen(π/2+x).tgx.tgx]/cos(π/2+x)

Agora, simplificando sen(π/2+x) e cos(π/2+x):

sen(π/2+x) = sen(π/2).cosx+senx.cos(π/2) = 1.cosx+senx.0 = cosx
cos(π/2+x) = cos(π/2).cosx-sen(π/2).senx = 0.cosx-1.senx = -senx

Substituindo:
[cosx.tgx.tgx]/-senx) = tgx.tgx/-tgx = -tgx

O problema é que na minha resolução deu negativo. Vou revisa-la, quando encontrar o erro edito. Ok?