Question

A respeito de um terreno cujo formato é diferente do que costumeiramente se vê, sabe-se que ele tem forma triangular, com base medindo 18 m e os ângulos da base medindo 45° e 15°. Nessas condições, determine as medidas dos outros dois lados do triângulo que representa o terreno.​

Answer 1

Os lados do triângulo medem:

$\large \sf x = 6 \sqrt 6$

$\large \sf y = 9 \sqrt {2} - 3 \codt \sqrt 6$

• Use a Lei dos Senos: Em qualquer triângulo a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante.

$\large \sf \dfrac{18}{sen~A} =\dfrac{x}{sen~C} =\dfrac{y}{sen~B}$

• Determine a medida do ângulo no vértice A.

A = 180 − 45 − 15

A = 120°

• Observe que o seno de 120°equivale ao seno de 60°.

$\large \sf sen~120 \textdegree = \dfrac{\sqrt 3}{2}$

• Determine  valor de x.

$\large \sf \dfrac{18}{sen~A} =\dfrac{x}{sen~C}$

$\large \sf \dfrac{18}{sen~120 \textdegree} =\dfrac{x}{sen~45 \textdegree}$

$\large \text { \sf \dfrac{18}{\dfrac {\sqrt3}{2}} =\dfrac{x}{\dfrac {\sqrt 2}{2}} }$  ⟹  Multiplique em cruz.

$\large \sf \dfrac {\sqrt3}{2} \cdot x= 18 \cdot \dfrac {\sqrt 2}{2}$  ⟹  Multiplique ambos os membros por 2.

$\large \sf \sqrt 3 \cdot x=18 \cdot \sqrt 2$  ⟹  Multiplique ambos os membros por √ ̅3̅ .

$\large \sf 3 \cdot x = 18 \cdot \sqrt 6$  ⟹  Divida ambos os membros por 3.

$\large \sf x = 6 \sqrt 6$

x ≈ 14,7

• Determine o valor de sen 15°.

sen 15° = sen (45° − 30°)

sen (45° − 30°) = sen 45° ⋅ cos 30° − sen 30° ⋅ cos 45°

$\large \sf sen~15\textdegree = \dfrac{\sqrt 2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}$

$\large \sf sen~15\textdegree = \dfrac{\sqrt 6}{4} - \dfrac{\sqrt 2}{4}$

$\large \sf sen~15\textdegree = \dfrac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}$

• Determine o valor de y.

$\large \sf \dfrac{18}{sen~A} =\dfrac{y}{sen~B}$

$\large \sf \dfrac{18}{sen~120 \textdegree} =\dfrac{y}{sen~15 \textdegree}$

$\large \text { \sf \dfrac{18}{\dfrac {\sqrt3}{2}} =\dfrac{y}{\dfrac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}} }$  ⟹  Multiplique em cruz.

$\large \sf \dfrac {\sqrt3}{2} \cdot y= 18\cdot \dfrac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}$  ⟹  Simplifique o segundo membro.

$\large \sf \dfrac {\sqrt3}{2} \cdot y= 9\cdot \dfrac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{2}$  ⟹  Multiplique ambos os membros por 2.

$\large \sf \sqrt3 \cdot y = 9\cdot \left (\sqrt 6 - \sqrt 2\right)$  ⟹  Multiplique ambos os membros por √ ̅3̅ .

$\large \sf3 \cdot y = 9 \sqrt 3 \cdot \left (\sqrt 6 - \sqrt 2\right)$  ⟹  Divida ambos os membros por 3.

$\large \sf y = 3 \sqrt 3 \cdot \left (\sqrt 6 - \sqrt 2\right)$  ⟹ Execute a operação distributiva …

$\large \sf y = 3 \sqrt {18} - 3 \codt \sqrt 6$  ⟹ Observe que $\large \sf \sqrt {18} = \sqrt {9 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt 2$

$\large \sf y = 9 \sqrt {2} - 3 \codt \sqrt 6$

y ≈ 5,379

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