Question

A respeito da idade de três amigos, Antônio, Pedro e João,
Isabe-se que a idade de Antônio é igual à soma das idades
de Pedro e de João, acrescida de 16 anos e que o quadrado
da idade de Antônio é igual ao quadrado da soma das ida
des de Pedro e de João, acrescido de 1.632 anos. Assim, é
correto dizer que:
a. Antônio tem 43 anos.
b. entre os três amigos, Antônio é o mais jovem.
c. entre os três amigos, João é o mais idoso.
d. a soma das idades dos três amigos é 102 anos.
e. Pedro e João têm juntos 59 anos.

Answer 1

Para facilitar, vamos chamar as idades de Antônio, Pedro e João, respectivamente, por "A", "P" e "J".

Precisamos agora dispor matematicamente o que foi exposto no texto por meio de duas equações.

→ "a idade de Antônio é igual à soma das idades de Pedro e de João, acrescida de 16 anos ":

$\boxed{\sf A~=~P~+~J~+~16}$

→ "o quadrado da idade de Antônio é igual ao quadrado da soma das idades de Pedro e de João, acrescido de 1.632 anos ":

$\boxed{\sf A^2~=~(P~+~J)^2~+~1632}$

Note, temos 3 variáveis, mas apenas 2 equações, logo não será possível determinar o valor das três variáveis.

No entanto, podemos fazer uma pequena manipulação matemática para nos auxiliar. Chamaremos de "S" a soma das idades de Pedro e João e, com isso, as equações ficam da seguinte forma:

$\boxed{\sf A~=~S~+~16}\\\boxed{\sf A^2~=~S^2~+~1632}$

Agora sim, temos 2 equações e 2 incógnitas, isto é, podemos aplicar quaisquer métodos conhecidos de resolução de sistemas lineares para determinar o conjunto solução.

Nesta resolução, utilizarei o método da substituição, isolando "S" na 1ª equação e substituindo na 2ª equação.

$\sf A~=~S~+~16\\\\\boxed{\sf S~=~A~-~16}\\\\\\A^2~=~(A~-~16)^2~+~1632\\\\A^2~=~A^2~-~32A~+~256~+~1632\\\\A^2~-~A^2~+~32A~=~256~+~1632\\\\32A~=~1888\\\\A~=~\dfrac{1888}{32}\\\\\boxed{\sf A~=~59~anos}$

Substituindo o valor de A na 1ª equação teremos o valor de S:

$\sf A~=~S~+~16\\\\59~=~S~+~16\\\\S~=~59~-~16\\\\\boxed{\sf S~=~43~anos}$

Por fim, basta analisarmos as assertivas feitas:

(a) Incorreto. Como vimos, Antônio tem 59 anos

(b) Incorreto. Se a soma das idades de Pedro e João vale 43, é impossível qualquer um dos dois serem mais velhos que Antônio.

(c) Incorreto. Motivo semelhante ao visto no item anterior

(d) Correto. A+P+J = A+S = 59+43 = 102

(e) Incorreto. Como visto, somados tem 43 anos.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$