Question

A resistência elétrica de um termômetro de platina é R0 = 50 Ω à temperatura t0 = 20 oC. A que temperatura deve estar esse termômetro quando essa resistência chegar a 75 Ω?


(Dados: resistividade da platina a 20 oC: Pt = 1,1 • 10–7 Ω • m; coeficiente de resistividade em relação à temperatura da platina, Pt = 3,9 • 10–3 oC–1.)
Ajuda por favor! eu sei que a resposta é 148°C, mas não sei como chegar lá.

Answer 1

A resistência no valor 75Ω acusa uma temperatura igual a 108 ºC.

A resistencia de um fio é dada por:

$R = \dfrac{\rho \, l}{A}$

Onde $\rho$ é a resistividade do material, $l$ é o comprimento do fio e $A$ é a área da seção transversal do fio.

A dependência da resistividade com a temperatura vale:

$\rho = \rho_0(1+ \alpha\Delta T)$

Onde $\alpha$ é o coeficiente de resistividade em relação à temperatura.

Portanto, para calcular a temperatura elétrica deste termômetro, precisamos encontrar $\rho$ para depois encontrar $T$

Cálculo da resistividade a partir da resistência:

$R = \dfrac{\rho \, l}{A}$

Para a temperatura inical, temos R = 50Ω

$50\Omega = 1,1\cdot10^{-7}\dfrac{l}{A}\implies \dfrac{50\Omega}{1,1\cdot10^{-7}}=\dfrac{l}{A}$

Para a temperatura final, temos R = 75Ω

$\dfrac{75\Omega}{\rho\cdot10^{-7}}=\dfrac{l}{A}$

Assumindo $\bf \frac{l}{A}$ constante, podemos igualar as equações:

$\dfrac{75\ohm}{\rho\cdot10^{-7}}=\dfrac{50\ohm}{1,1\cdot10^{-7}}$

$\rho=1,65\cdot10^{-7}$

Cálculo da temperatura a partir da resistividade

$\rho = \rho_0(1+ \alpha\Delta T)$

Substituímos os dados na equação:

$1,65\cdot10^{-7} = 1,1\cdot10^{-7}(1+ 3,9\cdot10^{-3}\cdot(T-20))$

Resolvendo, obtemos:

$(1,65-1,1)\cdot10^{-7} = 1,1\cdot10^{-7}\cdot 3,9\cdot10^{-3}\cdot(T-20)$

$T-20=\dfrac{(1,65-1,1)\cdot10^{-7}}{1,1\cdot10^{-7}\cdot 3,9\cdot10^{-3}}$

T = 108 ºC é a temperatura final medida pelo termômetro.

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