Question

A representação na forma polar do número complexo z = 1 + √3 i é: z = 1(cos π/3 + i sen π/3) z = 2(cos π/2 + i sen π/2) z = 2(cos π/3 + i sen π/3) z = 1(cos π/3 - i sen π/3) z = (cos π + i sen π)

Answer 1

Temos que um número complexo em sua forma algébrica ou retangular é dado por:

$\ast \: \: \sf z = \underbrace{a} _ {parte \: real}+ \underbrace{bi} _ {parte \: imagin \acute{a}ria}\: \: \ast$

Sabendo disso, vamos organizar os valores da parte real e imaginária do número que possuímos:

$\sf z = 1 + i \sqrt{3} \\ \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = \sqrt{3} \end{cases}$

Tendo feito isso, podemos partir para o cálculo da forma trigonométrica ou polar desse mesmo número complexo, para chegarmos de fato nessa forma, devemos calcular duas coisas que são: o módulo e o argumento.

• Módulo •

É a distância da origem do plano de Argand-Gauss até o afixo (coordenada), tal módulo pode ser calculado através da fórmula:

$\boxed{\ast \: \sf \rho = \sqrt{ a { }^{2} + b {}^{2} } \: \ast}$

Onde "a" e "b" representam a parte real e imaginária respectivamente.

Substituindo:

$\sf \rho = \sqrt{(1) {}^{2} + ( \sqrt{3}) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{1 + 3} \\ \sf \rho = \sqrt{4} \\ \boxed{\sf \rho = 2}$

Esse é o valor do módulo.

• Argumento •

É o ângulo formado em relação ao eixo real (x), pode ser calculado através das relações trigonométricas seno e cosseno.

$\begin{cases} \sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{a}{ \rho} \end{cases}$

Substituindo:

$\sf sen \theta = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{1}{2}$

Agora você deve pensar assim: Qual ângulo possui o seno igual a √3/2 e ao mesmo tempo possui o cosseno igual a 1/2, certamente você há de concordar comigo que esse ângulo é 60°, portanto:

$\sf \theta = 60 {}^{ \circ} \: \: ou \: \: \theta = \frac{\pi}{3}$

Para finalizar é só substituir os dados na fórmula trigonométrica do número complexo, tal fórmula é dada por:

$\boxed{ \sf z = \rho.( cos \theta + i sen \theta)}$

Substituindo:

$\begin{cases} \sf z = 2.(cos60 {}^{ \circ} + isen60 {}^{ \circ} ) \\ \sf ou \\ \sf z = 2.(cos \frac{\pi}{3} + isen \frac{\pi}{3} ) \end{cases}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta

sen de

Explicação passo-a-passo: