Question

A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função Real 
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_____{
$\frac{t}{5} + 8$
, para 0 ⩽ t < 20 
N(t)= {
$\frac{ { - t}^{2} }{100} + \frac{4t}{5}$
, para 20 ⩽ t < 50 
_____{
$\frac{ - 3t }{25} + 21$
, para 50 ⩽ t ⩽ 100 
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Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso. Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é ​​

Answer 1

Como N(t) representa a altura da represa em função do tempo, e ele quer o tempo em que a represa tem a altura ≥12, então temos que N(t)=12

Utilizando primeiramente a primeira função:

para 0 ⩽ t < 20 :

$n(t) = \frac{t}{5} + 8$

$12 = \frac{t}{5} + 8$

$\frac{t}{5} = 4$

$t = 20$

Como a função tem restrição de t < 20, não podemos usá-la para representar o número de dias. Agora que sabemos que o número de dias (t) são 20 para quando a altura for 12, podemos usar a a outra função que nos permite representar isso:

$n(t) = \frac{{ - t}^{2} }{100} + \frac{4t}{5}$

$n(20) = \frac{{ - 20}^{2} }{100} + \frac{4 \times 20}{5}$

$n(20) = - 4 + 16$

$n(20) = 12$

O número de dias até o limite da restrição dessa função, quando t < 50, só tende a aumentar em função da altura da represa, ou seja, temos que até t=49 o tamanho da represa permanece ≥ 12 metros. Veja:

$n(49) = \frac{{ - 49}^{2} }{100} + \frac{4 \times 49}{5}$

$n(49) = 15.19$

Agora vamos ver se esse aumento continua quando ultrapassarmos a restrição dessa equação e passamos a utilizar a 3ª função, ou seja, quando 50 ≤ t ≤ 100:

$n(t) = \frac{ - 3t }{25} + 21$

$n(50) = \frac{ - 3 \times 50}{25} + 21$

$n(50) = - 6 + 21$

$n(50) = 15$

Perceba que a partir dessa função, o n(t), ou seja, o tamanho da represa, começa a diminuir. Como o valor deve ser ≥12, Temos que o limite de decréscimo será quando n(t)=12. Sendo assim:

$12 = \frac{ - 3t }{25} + 21$

$\frac{ 3t }{25} = 9$

$3t = 225$

$t = \frac{225}{3}$

$t = 75$

Sendo assim, o número de dias em que a altura da represa permanece ≥12 metros são por 75 dias.

Porém, sabemos que quando n(t) era menor que 12,ou seja, quando 0 ≤ t ≤12, o número de dias era menor que 20, ou seja, há 19 dias em que a altura da barragem é menor que 12. Sendo assim devemos subtrair o número de dias (75) por 19.

t=75-19

t=56 dias

Resposta: 56 dias