Question

A Relação Fundamental da Trigonometria relaciona as funções trigonométricas seno e cosseno, sendo escrita da seguinte forma:

sen2 x + cos2 x = 1

Outras relações derivadas podem ser obtidas dividindo-se todos os termos da relação fundamental por sen2 x ou por cos2 x.

Dada a relação fundamental, considere um inteiro positivo m tal que sec x = 2m – 1 e tgx = √m²+4, para um x qualquer. O valor de m é

Answer 1

$\begin{cases} \boxed{ \green {\sf m_{1} = 2}} \\ \cancel{ \red{\sf m_{2} = - \frac{2}{3} }} \end{cases}$

Explicação

Sabemos que a relação fundamental da trigonometria é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1$

Para a resolução da questão, devemos utilizar uma relação recorrente da relação fundamental, isto é, uma expressão advinda dela. Para obter esta expressão, devemos dividir todos os termos pelo cosseno ao quadrado.

$\: \: \: \sf \frac{ \sin {}^{2}(x) }{ \cos {}^{2} (x)} + \frac{ \cos {}^{2} (x)}{ \cos {}^{2} (x)} = \frac{1}{ \cos {}^{2} (x)} \\ \\ \sf \left( \frac{ \sin(x)}{ \cos(x)} \right) ^{2} + \left( \frac{ \cos(x)}{ \cos(x)} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{ \cos(x)} \right) ^{2} \\ \\ \boxed{\sf \tg ^{2} (x) + 1 = \sec {}^{2} (x)}$

No enunciado nos é fornecido os dados abaixo:

$\sf \sec(x ) = 2m - 1\: \: \: e \: \: \tg(x) = \sqrt{m {}^{2} + 4 }$

Para encontrar o valor de m, basta substituir estas informações na relação recorrente.

$\sf ( \tg(x)) {}^{2} + 1 = ( \sec(x)) {}^{2} \: \to \: \sf( \sqrt{m {}^{2} + 4} ) {}^{2} + 1 = (2m - 1) {}^{2} \\ \\ \sf m {}^{2} + 4 + 1 = 4m {}^{2} - 4m + 1 \: \: \to \: \: m {}^{2} + 4 = 4m {}^{2} - 4m \\ \\ \sf 3m {}^{2} - 4m - 4 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\sf m = \frac{ 4 \pm \sqrt{ ( - 4) {}^{2} - 4.3.( - 4) } }{2.3} \\ \\ \sf m = \frac{4 \pm \sqrt{16 +48 } }{6} \: \: \to \: \: \sf m = \frac{4 \pm \sqrt{64} }{6} \\ \\ \sf m = \frac{4 \pm8}{6} \: \to \: \begin{cases} \sf m_{1} = 2 \\ \sf m_{2} = - \frac{2}{3} \end{cases}$

Como a questão fala que m é um valor positivo, então vamos descartar o valor negativo. Sendo a resposta m = 2.

Espero ter ajudado

Answer 2

M =

Dividindo todos os termos da relação fundamental por cos2 x, encontra-se a relação derivada que relaciona secante e tangente. Sendo m um inteiro positivo, calcula-se: