A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão: V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro. Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Euler (pronuncia-se: Óiler) foi um matemático suíço (1707–1783). Um sólido que satisfaz a relação de Euler é chamado euleriano. Para cada sólido mostrado, complete a tabela a seguir. Você deverá escrever o valor de V, o valor de A e o valor de F para cada um deles. Na penúltima coluna, calcule e escreva o valor de V – A + F para cada caso. Finalmente, conforme o resultado encontrado, escreva na última coluna SIM, se o sólido for euleriano, e NÃO, caso contrário. De acordo com o preenchimento correto da tabela, quantos sólidos são euleriano?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Soluções para a tarefa
4 dos sólidos apresentados são eulerianos.
Paralelpípedo:
V = 8
A = 12
F = 6
V-A+F = 8 - 12 + 6 = 2
É Euleriano
Prisma de base triangular
V = 8
A = 9
F = 5
V-A+F = 8 - 9 + 5 = 4
Não é Euleriano
Pirâmide de base triangular
V = 4
A = 6
F = 4
V-A+F = 4 - 6 + 4 = 2
É Euleriano
Prisma de base pentagonal
V = 10
A = 15
F = 7
V-A+F = 10 - 15 + 7 = 2
É Euleriano
Prisma de base hexagonal
V = 12
A = 18
F = 8
V-A+F = 12 -18 + 8 = 2
É Euleriano
Para completar a tabela, se faz necessário contar os vértices, arestas e faces:
Uma dica que facilita contar os vértices é separar o sólido em parte de cima e parte de baixo. Como exemplo, considere a pirâmide (terceira figurade cima para baixo):
Sua parte de cima só tem 1 vértice (chamado de o vértice da pirâmide) e sua parte de baixo é sua base (que tem 3 vértices)
A contagem de arestas é parecida, mas separamos em arestas do topo, arestas do fundo e arestas das laterais.
Isto permite realizar uma inspeção visual mais rápida.