Question

A Regra do Quociente indica que a derivada da divisão de duas funções é o denominador (sem derivar) multiplicado pela derivada do numerador, menos, o numerador (sem derivar) multiplicado pela derivada do denominador, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador (sem derivar).

Usando a notação linha, pode-se escrever a mesma regra de derivação do quociente de duas funções como:

(Veja Figura 1)

Calcule a derivada da função abaixo:

(Veja Figura 2)

Answer 1

Regra do Quociente:

Se $f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)},\;\;\;g(x) \neq 0,$ então

$f'(x)=\dfrac{g(x)\,h'(x)-h(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}$


Para esta questão, temos

$f(x)=\dfrac{x^{3}+15}{x^{3}-5x}\\ \\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{(x^{3}-5x)\,(x^{3}+15)'-(x^{3}+15)\,(x^{3}-5x)'}{(x^{3}-5x)^{2}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{(x^{3}-5x)\,(3x^{2})-(x^{3}+15)\,(3x^{2}-5)}{(x^{3}-5x)^{2}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{3x^{5}-15x^{3}-(3x^{5}-5x^{3}+45x^{2}-75)}{(x^{3}-5x)^{2}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{3x^{5}-15x^{3}-3x^{5}+5x^{3}-45x^{2}+75}{(x^{3}-5x)^{2}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{-10x^{3}-45x^{2}+75}{(x^{3}-5x)^{2}}\\ \\ \\ \boxed{f'(x)=\dfrac{-5\,(2x^{3}+9x^{2}-15)}{(x^{3}-5x)^{2}}}$