A regra de Sarrus é suficiente para calcular o determinante de uma matriz de ordem superior a 3? Justifique a sua resposta.
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Resposta:
1ª) Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinante será zero.
Essa propriedade é válida porque cada termo no cálculo do determinante será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Matriz de ordem 3 com a segunda coluna composta por zeros.
Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, temos:
Det = A11·0·A33 + 0·A23·A31 + A13·A21·0 – A31·0·A13 – 0·A23·A11 – A33·A21·0 = 0
Podemos ainda verificar essa propriedade através de qualquer matriz que apresente uma linha ou coluna formada por zeros.
2ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta.
É fácil verificar essa propriedade, pois, ao calcular o determinante de uma matriz A ou de sua transposta At, estaremos sempre realizando as mesmas multiplicações e as mesmas adições. Vejamos o cálculo do determinante das matrizes A e At de ordem 2:

Matriz de ordem 2 e sua transposta.
Vamos calcular o determinante das duas matrizes:
Det A = A11·A22 – A21·A12
Det At = A11·A22 – A12·A21
Det A = Det At
3ª) Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocaremos o sinal do determinante.
Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout e pode ser facilmente comprovada através de exemplos. Veja:

Matrizes A e A', ambas de ordem 2.
Observe que a Matriz A' é uma cópia da A, mas as linhas 1 e 2 foram trocadas. Vejamos o cálculo de seus determinantes:
Det A = A11·A22 – A21·A12
Det A' = A21·A12 – A11·A22
Det A = – Det A'
4ª) Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multiplicado por n.
A 4ª propriedade é válida porque, no cálculo do determinante, cada produto é multiplicado por n, o que, colocando em evidência, corresponde a multiplicar o próprio determinante por n. Vejamos um exemplo para uma matriz de ordem 3:

Matrizes A e A', ambas de ordem 3.
Vamos calcular o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus: