Question

A regra da cadeia é uma técnica utilizada para derivar funções compostas, sendo aplicada antes de executar as regras básicas de derivação. Utilizando a regra da cadeia, derive a função apresentada e analise as afirmações apresentadas.

f(x) = (2x + 3)2

​I) A derivada da função calculada em x = 2 assume o valor 15.
II) A regra da cadeia pode ser executada fazendo u = 2x+3.
III) A diferença entre o valor da função e de sua derivada para x = 1 é de 5.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.

Alternativa 2:
I e II apenas.

Alternativa 3:
I e III apenas.

Alternativa 4:
II apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

A função é y = (2x + 3)².

Desenvolvendo o produto notável, temos:

(2x)² + 2·2x·3 + 3² = 4x² + 12x + 9

Aplicando a regra da cadeia, o expoente desce, multiplicando o coeficiente, e é subtraído uma unidade do expoente.

Logo, temos que a derivada é:

dy/dx = 2·4x¹ + 1·12x⁰

dy/dx = 8x + 12

Calculando a derivada por u, temos:

y = u²

u = 2x + 3

Logo:

dy/dx = dy/du · du/dx

dy/dx = 2u · 2

dy/dx = 4u

Agora, substituímos u.

dy/dx = 4(2x + 3)

dy/dx = 8x + 12

É o mesmo resultado!

Agora, avaliamos os itens.

I) Substituindo x por 2 na derivada, temos:

dy/dx = 8x + 12

dy/dx = 8·2 + 12

dy/dx = 16 + 12

dy/dx = 28

Portanto, o item é FALSO.

II) VERDADEIRO, pois já calculamos que u = 2x + 3.

II) Substituímos x por 1 na função e na derivada e compararmos os resultados.

y = (2x + 3)²

y = (2·1 + 3)²

y = (2 + 3)²

y = 5² ⇒ y = 25

Na derivada:

dy/dx = 8x + 12

dy/dx = 8·1 + 12

dy/dx = 8 + 12

dy/dx = 20

A diferença entre 25 e 20 é 5. Portanto, o item é VERDADEIRO.

Alternativa 1.