Question

A região R, limitada pela curva y = 1/4x² , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.

a) V = 1022 pi/80 u.v
b) V = 1023 pi/80 u.v
c) V = 1021 pi/80 u.v
d) V = 1020 pi/80 u.v

Answer 1

O volume do sólido de revolução em torno do eixo x é dado por:

$\displaystyle V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx$

Na situação descrita, a coordenada x varia de 1 a 4. Logo, $a=1$ e $b=4$. Além disso, a coordenada y provém da equação: $y=x^2/4$. Assim:

$\displaystyle V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx\\\\ V=\pi\int_1^4 \left[\dfrac{x^2}{4}\right]^2dx\\\\ V=\pi\int_1^4 \dfrac{x^4}{16}dx\\\\ V=\dfrac{\pi}{16}\int_1^4 x^4\,dx\\\\ V=\dfrac{\pi}{16}\left[\dfrac{x^{4+1}}{4+1}\right]_{1}^{4}\\\\ V=\dfrac{\pi}{16}\left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{4}\\\\ V=\dfrac{\pi}{80}\left[x^5\right]_{1}^{4}\\\\ V=\dfrac{\pi}{80}\left[4^5-1^5\right]$

$V=\dfrac{\pi}{80}\left[1024-1\right]\\\\ \boxed{V=\dfrac{1023}{80}\pi~u.v.}\Longrightarrow \boxed{\boxed{\text{Letra}~\bold{B}}}$