Question

A Região R do plano é limitada superiormente pela função y=e^x, inferiormente pela reta y=x e lateralmente pelas retas x=0 e x=1.
a)Calcule a área da região R.
b)Supondo que a área R sofra uma rotação em torno do eixo Ox,calcule o volume do sólido gerado.

Answer 1

a)

Para a area em questão precisaremos aplicar integral

As funcoes X=0 e X=1  sao retas verticais nas abcissas 0 e 1. Logo a area desejada será a area de Y= eˣ menos a area de Y=X (ver figuras em anexo)

(area desejada é a area roxa menos a area verde)

A área procurada será A1 - A2, onde

→ A1 é a área de Y = eˣ  (de 0 a 1)

→ A2 é a área de Y = X  (de 0 a 1)

Usando Integral......

A1:

$\int_{0}^{1}e^x=\left[e^x\right]^1_0=e^1-e^0=e-1$

A2:

$\int_{0}^{1}x=\left[\frac{x^{1+1}}{1+1}\right]^1_0=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]^1_0=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

A1 - A2 = e - 1 - 1/2

A1 - A2 = e - 3/2

b)

Para o volume em questao, basta aplicarmos a expressao:

$\pi \int [F(X)]^2$  

teremos entao

$\pi[\int_{0}^{1}(e^x)^2-\int_{0}^{1}(x)^2]$   (desenvolvendo por partes)

$\int_{0}^{1}(e^x)^2=\int_{0}^{1}e^{2x}$

façamos u = 2x, logo a integral ficará: $\int\limits^1_0 {e^u} \, dx$

Sendo assim du/dx = 2 ⇒ dx = du/2. Substituindo na integral

$\int\limits^1_0 {e^u} \, (du/2)$   1/2 cte, sai da integral....

$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^udu=\frac{1}{2}\left[e^u\right]^2_0$

como u = 2X

$\frac{1}{2}\left[e^{2x}\right]^1_0$

dai

$\frac{1}{2}\left[e^{2x}\right]^1_0=\frac{1}{2}.[e^{2.1}-e^{2.0}]=\frac{1}{2}.(e^2-1)$

Para a outra integral:

$\int_{0}^{1}(x)^2=\int_{0}^{1}x^2=\left[\frac{x^{2+1}}{2+1}\right]^1_0=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]^1_0=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Logo o volume será

$\pi(\frac{1}{2}.(e^2-1)-\frac{1}{3})$