Question

A região limitada pelo gráfico de f(x) = x^5, pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 1.

Answer 1

A área da região é

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{-1}^{1} x^5\,dx = \frac{1}{3}\end{gathered}$

Para calcular áreas de regiões limitadas por funções no plano xy devemos utilizar o operador integral, que possui as seguintes propriedades

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \left [f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int c \cdot f(x) \,dx = c\int f(x) \,dx, \quad c = \text{const}\end{gathered}$

ou seja, é um operador linear.

Com isso, temos que lembrar que a integral de um polinômio é imediata pois podemos dividir várias integrais de monômios que por sua vez são imediatas de fato e são dadas por:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{a}^{b} x^{n} \,dx = \left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_{a}^{b}, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Ilustrando o que foi dito acima, vamos supor que tenhamos um polinômio de grau n, dado por

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}P(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+a_{2}x^2+a_1x + a_0\end{gathered}$

A integral indefinida vai ser dada por

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int P(x)\, dx =\int\left[ a_nx^{n} +\cdots+a_{2}x^2+a_1x + a_0\right]\,dx\end{gathered}$

Usando as duas propriedades ilustradas no início temos que    

  $\large\displaystyle\begin{gathered}\int P(x)\, dx =a_n\int x^{n}\,dx +\cdots+a_2\int x^{2}\,dx+a_1\int x\,dx + a_0\int \,dx\end{gathered}$

Agora note que temos n integrais de monômios, que são imediatas, portanto, se for integrar um polinômio, basta dividir em integrais de monômios.

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int P(x)\, dx =a_n \frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots+a_2\frac{x^3}{3}+a_1\frac{x^2}{2} + a_0x +C \end{gathered} }$

E a primitiva do polinômio terá grau n + 1.

Como aqui temos uma integral definida, i.e. possui extremos de integração, o resultado da integral é um número, ao contrário da integral indefinida que é uma função, pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\end{gathered}$

Onde F(x) denota a primitiva de f (função que encontramos ao fazer a integral indefinida), sendo assim, como nosso f(x) = x⁵, e nossos extremos de integração são -1 e 1, nossa integral é

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{-1}^{1} x^5\,dx\end{gathered}$

Aplicando a regra de integração para um monômio temos

                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{-1}^{1} x^5\,dx = \left.\frac{x^{5+1}}{5+1}\right|_{-1}^{1}\\ \\\int_{-1}^{1} x^5\,dx = \left.\frac{x^{6}}{6}\right|_{-1}^{1}\\ \\\end{gathered} }$

Portanto

                                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{-1}^{1} x^5\,dx = \frac{1^{6}}{6} - \frac{(-1)^{6}}{6}\\ \\\int_{-1}^{1} x^5\,dx = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\\ \\\int_{-1}^{1} x^5\,dx = 0\end{gathered} }$

Portanto o resultado é zero, mas por quê?

Porque a integral representa uma área porém ela possui sinal, áreas abaixo do eixo x são negativas, áreas acima do eixo x são positivas, a função x^5 é uma função ímpar, i.e. f(x) = -f(-x), sempre que integramos uma função ímpar num intervalo simétrico ao eixo y o resultado é 0. Porém, se quisermos de fato área dessa região temos que considerar apenas o módulo das áreas, se fizermos isso acima teríamos que área é 1/3 de unidade área.

Veja a figura em anexo para ver a função e a região delimitada.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

Integrais impróprias - brainly.com.br/tarefa/42674687

Área da região delimitada - brainly.com.br/tarefa/41981522