Question

A região limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2, sofrem uma rotação em torno do eixo x. Assinale a alternativa que determina o volume aproximado do sólido de revolução gerado:
(Adote o valor de como 3,14).
a) 94,2 u.v.
b) 97,34 u.v.
c) 19,47 u.v.
d) 18,84 u.v.
e) 20,1 u.v.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o volume de sólidos de revolução.

Seja $R$ a região limitada pelas curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$, limitadas pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$, determinando assim um intervalo de integração $[a,~b]$, em que estas funções são contínuas e $f(x)>g(x)$.

O volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas é calculado pela fórmula: $\boxed{\displaystyle{V=\pi\cdot\int_a^b (f(x))^2-(g(x))^2\,dx}}$.

Então, seja a região limitada pela curva $y=x^2$, o eixo das abscissas e as retas $x=1$ e $x=2$. Ao rotacionar esta região em torno do eixo das abscissas, gera-se um sólido cujo volume devemos determinar.

Sabendo que o eixo das abscissas é também a reta horizontal $y=0$, utilizamos os dados do enunciado para calcularmos o volume deste sólido por meio da integral:

$\displaystyle{V=\pi\cdot\int_1^2(x^2)^2-(0)^2\,dx}$.

Calcule a potência e some os valores

$\displaystyle{V=\pi\cdot\int_1^2 x^4\,dx}$

Para resolver a integral, aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.

$V=\pi\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}~\biggr|_1^2\\\\\\ V=\pi\cdot\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_1^2$

Aplique os limites de integração de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$

$V=\pi\cdot\left(\dfrac{2^5}{5}-\dfrac{1^5}{5}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$V=\pi\cdot\left(\dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}\right)\\\\\\ V=\dfrac{31\pi}{5}$

Adotando a aproximação $\pi\approx3.14$, multiplicamos os valores:

$V\approx\dfrac{31\cdot3.14}{5}\\\\\\ V\approx\dfrac{97.34}{5}\\\\\\ V\approx19.468~\bold{u.~v}$

Esta é a aproximação para o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas e pelas retas verticais e é a resposta contida na letra c).