Question

A região entre a curva y=√x , 0< x < 4 e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume

Answer 1

$V \ = \ \int\limits^a_b A(x) \, dx \ = \int\limits^a_b \pi [R(x)]^{2} \, dx \\ \\ V \ = \int\limits^4_0 \pi [\sqrt{x} ]^{2} \, dx \\ \\ V \ = \int\limits^4_0 \pi [x^{\frac{1}{2}}]^{2} \, dx \\ \\ V \ = \pi \int\limits^4_0 x^{\frac{2}{2}} \, dx \\ \\ V \ = \pi \int\limits^4_0 x \, dx \\ \\ V \ = \pi \ \frac{x^{1+1}}{1+1} |_{0} ^{4} \\ \\ V \ = \pi \ \frac{x^{2}}{2} |_{0} ^{4} \\ \\ V \ = \pi \ . \ (\frac{4^{2}}{2} \ - \ \frac{0^{2}}{2})$

$V \ = \pi \ . \ (\frac{16}{2} \ - \ \frac{0}{2}) \\ \\ V \ = \pi \ . \ (8 \ - \ 0) \\ \\ V \ = \pi \ . \ 8 \\ \\ V \ = 8\pi$