Question

A razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o comprimento da circunferência inscrita nele é igual a:

A)$\frac{3 \sqrt{2} }{ \pi }$
B)$\frac{3 \sqrt{3} }{ \pi }$
C)$\frac{4\sqrt{2} }{ \pi }$
D)$\frac{4 \sqrt{3} }{ \pi }$

Answer 1

Perímetro do triângulo equilátero:

$2P=l+l+l=3l$
______

O raio do círculo inscrito num triângulo equilátero é o apótema desse triângulo

O apótema do triângulo equilátero é 1/3 de sua altura, que, por sua vez, é:

$h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$

Então, o apótema (a) é:

$a=\dfrac{1}{3}h=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{l\sqrt{3}}{2}=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}$

Como o raio do círculo inscrito é igual ao apótema:

$\boxed{\boxed{r=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}}}$
______

Achando o comprimento da circunferência:

$C=2\cdot\pi\cdot r=2\cdot\pi\dfrac{l\sqrt{3}}{6}=\dfrac{l\pi\sqrt{3}}{3}$

Então, a razão entre o perímetro do triângulo e o comprimento da circ. é:

$\dfrac{2P}{C}=\dfrac{3l}{(\frac{l\pi\sqrt{3}}{3})}=3l\cdot\dfrac{3}{l\pi\sqrt{3}}=3\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi\sqrt{3}\sqrt{3}}=3\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi\cdot3}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{2P}{C}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}}}$

Letra B