Question

A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10m, circunscrito à mesma circunferência, é:​

Answer 1

Resposta:

1/2

Explicação passo-a-passo:

O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros e o apótema do mesmo é a altura de um desses triângulos equiláteros. O lado de cada um desses triângulos é exatamente igual ao raio do círculo:

l = r

$h = \frac{l \sqrt{3} }{2} \\ 10 = \frac{l \sqrt{3} }{2} \\ 20 = l \sqrt{3} \\ l = \frac{20}{ \sqrt{3} } \\ l = \frac{20}{ \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ l = \frac{20 \sqrt{3} }{3}$

Agora vamos calcular a área do hexágono:

$A = 6 \frac{ {l}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ A = 6 \frac{ {(\frac{20 \sqrt{3} }{3})}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ A = 6 \frac{ \frac{1200}{9} \sqrt{3} }{4} \\ A = 6 \frac{ \frac{1200 \sqrt{3} }{9} }{4} \\ A = 6 \frac{ \frac{400 \sqrt{3} }{3} }{4} \\ A = 6 \cdot \frac{400 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{1}{4} \\ A = 6 \cdot \frac{400 \sqrt{3} }{12} \\ A = \frac{2400 \sqrt{3} }{12} = 200 \sqrt{3} {m}^{2}$

Vamos calcular área do triângulo, uma vez que já temos o raio da circunferência no qual ambas as formas estão inscritas.

O lado (L) do triângulo e o raio possuem a seguinte relação:

$L = r \sqrt{3}$

Logo, temos:

$L = \frac{20 \sqrt{3} }{3} \cdot \sqrt{3} \\ L = \frac{20 \cdot3}{3} = 20m$

Sendo assim vamos calcular a área do triângulo equilátero:

$A = \frac{{L}^{2}\sqrt{3}}{4} \\ A = \frac{ {20}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ A = \frac{400 \sqrt{3} }{4} \\ A = 100 \sqrt{3} {m}^{2}$

Por fim vamos procurar a razão entre as áreas do triângulo e hexágono:

$\frac{100 \sqrt{3} }{200 \sqrt{3} } = \frac{1}{2}$

Answer 2

Resposta:

3/8

Explicação passo-a-passo:

Confia