A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cujo apótema mede 10 cm, circunscrito a esta mesma circunferência é:.
Soluções para a tarefa
A razão entre as áreas do triângulo e do hexágono é 3/8.
Triângulos retângulos
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos calcular a medida de um dos lados desses triângulos caso saibamos os outros dois. Sendo a o valor da hipotenusa, tem-se:
a² = b² + c²
Um triângulo equilátero inscrito na circunferência é formado por 6 triângulos retângulos onde os catetos são o apótema e a metade do lado (L/2) e a hipotenusa é o raio da circunferência. O ângulo oposto a L/2 mede 60°, logo:
sen 60° = (L/2)/r
L = 2r·√3/2
L = r√3
Pelo teorema de Pitágoras:
r² = (L/2)² + a²
a² = r² - (r√3/2)²
a² = r² - 3r²/4
a² = r²/4
a(t) = r/2
Um hexágono circunscrito na circunferência tem seu apótema igual ao raio, então:
a(h) = r = 10 cm
Seja a(t) = 5 cm e L = 10√3 cm, teremos sua área dada por:
At = 3·L·a/2
At = 3·10√3·5/2
At = 75√3 cm²
O lado do hexágono será dado por:
L² = (L/2)² + a²
(3/4)·L² = 10²
L² = 100/(3/4)
L = 20/√3
L = 20√3/3 cm
Já a área do hexágono é:
Ah = 6·L·a/2
Ah = 6·(20·√3/3)·10/2
Ah = 200√3 cm²
A razão entre as áreas são:
At/Ah = 75√3/200√3
At/Ah = 3/8
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