Question

A razão entre a medida do apótema de um hexágono regular e a medida do apótema de um quadrado é V3/2. Determine a razão entre as áreas do hexágono e do quadrado

Answer 1

A razão entre as áreas do hexágono e do quadrado é $\frac{A}{A'}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Vamos considerar que x é o lado do hexágono regular e x' é o lado do quadrado.

A apótema do hexágono regular é igual a $a = \frac{x\sqrt{3}}{2}$.

Já a apótema do quadrado é igual a $a'=\frac{x'}{2}$.

A área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, ou seja, $A=\frac{6x^2\sqrt{3}}{4}$.

A área do quadrado é igual a A' = x'².

A razão entre as áreas do hexágono e do quadrado é igual a:

$\frac{A}{A'}=\frac{6x^2\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{x'^2}$

$\frac{A}{A'}=\frac{3x^2\sqrt{3}}{2x'^2}$.

De acordo com o enunciado, $\frac{a}{a'}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Então:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{x'}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

2x = x'.

Portanto:

$\frac{A}{A'}=\frac{3x^2\sqrt{3}}{2.(2x)^2}$

$\frac{A}{A'}=\frac{3x^2\sqrt{3}}{2.4x^2}$

$\frac{A}{A'}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$.