Question

A razão entre a diagonal de um cubo pela diagonal de uma de suas faces é igual a:
!!????

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Answer 1

A diagonal de um cubo é dada por:

$D_{cubo}~=~a\,.\,\sqrt{3}$

A diagonal de uma face do cubo (diagonal de um quadrado) é dada por:

$D_{face\,do\,cubo}~=~a\,.\,\sqrt{2}$

Onde "a" é a aresta do cubo.

A razão entre as duas diagonais, fica:

$\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{a\,.\,\sqrt{3}}{a\,.\,\sqrt{2}}\\\\\\\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\\\Racionalizando\\\\\\\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}~.~\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{\sqrt{3}~.~\sqrt{2}}{\sqrt{2}^{\,2}}}\\\\\\\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{\sqrt{3~.~2}}{2}}\\\\\\\boxed{\frac{D_{cubo}}{D_{face\,do\,cubo}}~=~\frac{\sqrt{6}}{2}}}$