Question

A razão da progressão geométrica tal que a1+ a4 = 144

e a2+ a5 = 72 é igual a razão da progressão aritmética

cuja quinto termo é igual 10. Nessas condições, o valor

do sétimo termo dessa progressão aritmética é:

a) 11

b) 9,5

c) 10,5

Answer 1

a1 + a4 = 144

a2 + a5 = 72

an = a1 . q^(n - 1)

a2 = a1 . q

a4 = a1 . q³

a5 = a1 . q^4

Então,

a1 + a4 = 144

a1 + a1.q³ = 144

a2 + a5 = 72

a1 . q + a1 . q^4 = 72

Temos então um sistema:

a1 + a1 . q³ = 144

a1 . q + a1 . q^4 = 72

Fatorando ambas as equações temos:

a1 . (1 + q³) = 144

a1 . (q + q^4) = 72

Dividindo uma pela outra temos:

$\frac{1+q^3}{q+q^4}=\frac{144}{72}$

$\frac{1+q^3}{q+q^4}=2$

Passa multiplicando

1 + q³ = 2.(q + q^4)

1 + q³ = 2q + 2q^4

Passando tudo para o mesmo lado:

2q^4 - q³ + 2q - 1 = 0

Fatorando:

(q + 1) . (2q - 1) . (q² - q + 1) = 0

Para que essa multiplicação seja igual a 0 qualquer um dos termos pode ser igual a 0, então:

q + 1 = 0

2q - 1 = 0

q² - q + 1 = 0

q + 1 = 0

q = -1

2q - 1 = 0

2q = 1

q = 1/2

q² - q + 1 = 0

Δ = b² - 4.a.c  

Δ = -1² - 4 . 1 . 1  

Δ = 1 - 4. 1 . 1  

Δ = -3

Não há raízes reais.

Então as raízes para essa equação são -1 e 1/2

Contudo, voltando a equação primordial:

$\frac{1+q^3}{q+q^4}=2$

Vemos que por condição e existência, q não pode ser igual a -1, se não teriamos uma divisão por 0. Sendo assim, a única raiz aceitável para nós é 1/2.

Então, q = 1/2

Indo para a segunda parte do problema sabemos que essa razão  é a razão de uma P.A. cuja a5 = 10

a5 = 10

an = a1 + (n - 1).r

an = a1 + (n - 1).1/2

an = a1 + (n -1)/2

a5 = a1 + (5 - 1)/2

a5 = a1 + 4/2

a5 = a1 + 2

10 = a1 + 2

10 - 2 = a1

a1 = 8

an = 8 + (n - 1).1/2

an = 8 + (n - 1)/2

a7 = 8 + (7 - 1)/2

a7 = 8 + 6/2

a7 = 8 + 3

a7 = 11

Alternativa A.