Question

A razão da P.G (a, a + 3, 5a - 3, 8a) é:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

Gostaria de saber passo a passo como chegar no resultado. Se possível, demonstrar a prova real da resolução.

Answer 1

Vamos escrever algumas equações, usando a definição de progressão geométrica:
$a \cdot q = a + 3 \Rightarrow a(q-1) = 3 \: (i) \\ a \cdot q^2 = 5a - 3 \Rightarrow a(q^2 - 5) = -3 \: (ii)$

São duas equações e duas incógnitas. Vamos, agora, dividir a segunda pela primeira, a fim de eliminar o a:
$\Rightarrow \frac{q^2 - 5}{q-1} = -1 \Rightarrow q^2 - 5 = 1 - q \\ \Rightarrow q^2 + q - 6 = 0$

Temos uma equação do segundo grau, o que era esperado, afinal a P.G. pode ser crescente ou decrescente. Resolvendo:
$\Delta = 1 + 24 = 25 \Rightarrow q = \frac{-1 \pm 5}{2} \\ \Rightarrow q_1 = -3 \: ou \: q_2 = 2$

Resposta: Letra B.

Prova real: usando a primeira equação, vamos substituir q = 2:
$2a = a + 3 \Rightarrow a = 3$

A PG é: (3, 6, 12, 24).