Question

A raiz real da equação log de (x + 1) + 1 na base 10 = log (x2 + 35) na base 10 é?

Answer 1

$\mathrm{\ell og}\,(x+1)+1=\mathrm{\ell og}\,(x^{2}+35)$


$\bullet\;\;$ Condições de existência dos logaritmos:

a base dos logaritmos deve ser positiva e diferente de 1;

os logaritmandos devem ser positivos:

$\begin{array}{rcl} x+1>0&\;\text{ e }\;&x^{2}+35>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>-1&\;\text{ e }\;&x^{2}>-35\\ \\ \Rightarrow\;\;x>-1 \end{array}$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação:

$\mathrm{\ell og}\,(x+1)+1=\mathrm{\ell og}\,(x^{2}+35)\\ \\ \mathrm{\ell og}\,(x+1)+\mathrm{\ell og}\,(10)=\mathrm{\ell og}\,(x^{2}+35)$


Para uma mesma base, a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto. Aplicando esta propriedade no lado esquerdo, temos

$\mathrm{\ell og}\,[(x+1)\cdot 10]=\mathrm{\ell og}\,(x^{2}+35)\\ \\ \mathrm{\ell og}\,[10x+10]=\mathrm{\ell og}\,(x^{2}+35)$


Para uma mesma base, os logaritmos são iguais, se e somente se os logaritmandos forem iguais. Então, igualando os logaritmandos, temos

$10x+10=x^{2}+35\\ \\ 0=x^{2}-10x+35-10\\ \\ x^{2}-10x+25=0$


O lado esquerdo é um quadrado perfeito. Podemos reescrever a última igualdade acima como

$(x-5)^{2}=0\\ \\ x-5=0\\ \\ x=5$


Como $5>-1,$ a solução acima satisfaz as condições de existência. Portanto, o conjunto solução é

$S=\{5\}$