Question

a raiz quadrada de 2 é irracional? heeelllpppp :)

Answer 1

irracionalidade de raiz quadrada de 2, acredito que não terá dificuldade com a demonstração de que a raiz quadrada de 3 é um número irracional, isto é, não pode ser representado como uma fração.

Antes vamos demonstrar um lema.

(Lema é uma proposição que auxilia na demonstração de outra proposição.)

Se p² é múltiplo de 3, então p é múltiplo 3.

Para provar, vamos usar o fato de que se p não é múltiplo de 3, então p² não é múltiplo de 3.

Se p não é múltiplo de 3 existem q e r inteiros, tais que:

p = 3q + r

0 < r < 3

Na expressão, a letra q significa quociente e o rsignifica resto. Observe que p dividido por 3 dá um quociente q e nessa divisão obtemos um resto r. Para que p não seja divisível ou múltiplo de 3 o resto só pode ser 1 ou 2.

Por exemplo: 7 não é múltiplo de 3, então existem um q= 2 e um r = 1, tais que 7 = 3 × 2 + 1

Elevando p ao quadrado, temos:

p² = (3q + r)² = 9q² + 6qr + r²

Como 3 é o fator comum das duas primeiras parcelas, vem:

p² = 3(3q² + 2qr) + r²

Fazendo 3q² + 2qr = y, temos:

p² = 3y + r²

Para r = 1

p² = 3y + 1, não é múltiplo de 3.

Para r = 2

p² = 3y + 4 = 3y + 3 + 1 = 3(y + 1) + 1, não é múltiplo de 3.

Portanto, está provado o lema.

Agora, vamos supor que a raiz quadrada de 3 pode ser escrita como uma fração de numerador a e denominador b, com a e b primos entre si; ou seja, a fração é irredutível.

3–√=ab


elevamos os dois membros ao quadrado,

3=a2b2


multiplicamos os dois membros por b²

3b2=a2

Da última igualdade, vemos que a² é múltiplo de 3, assim a também é múltiplo de 3 e podemos escrever que a = 3k, sendo k um número natural. Substituindo 3k na última equação, temos:

3b2=(3k)2⇒

3b² = 9k²

e dividindo os dois membros por 3, temos:

b² = 3k²

Da equação acima podemos ver que b² é múltiplo de 3, logo b também é múltiplo de 3.

Chegamos a uma contradição, pois se a é múltiplo de 3 e b é múltiplo de 3 a fração  ab não é irredutível.

Portanto, 3–√ é um número irracional.

Espero que tenha ajudado,