Question

A raiz da equação log x + log x2 + log x3 + .... ... + log x100 = 15150, onde os logaritmos são considerados na base 10, é um número: a) primo b) multiplo de 10 c) impar d)menor que 140

Answer 1

Questão interessante! Vamos lá:
Lembrando que
$\log_{b}(a \cdot c) = \log_{b}a + \log_{b}c$

$\log(x) + \log(x^{2}) + \log(x^{3}) + \cdots + \log(x^{100}) = 15150 \\ \\ \log(x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdots x^{100}) = 15150$
Para efetuarmos essa multiplicação termos que somar os expoentes. Note que esses expoentes formam uma P.A. de razão 1 com 100 termos. Então sua soma será:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = 5050$
$\log({x}^{1 + 2 + 3 + \cdots + 100}) = 15150 \implies \log(x^{5050}) = 15150$
Pela definição de logaritmo, $\log_{b}a = x \iff b^x = a$:

${10}^{15150} = x^{5050} \\ \\ {10}^{10100} \cdot {10}^{5050} = x^{5050} \\ \\ {({10}^{10100} \cdot {10}^{5050})}^{\frac{1}{5050}} = {(x^{5050})}^{\frac{1}{5050}} \\ \\ {10}^{2} \cdot {10}^{1} = x \implies x = {10}^{3} \\ Resposta: (b)$