Question

(a) Racionalize e simplifique o número
\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2\;}},

sem calcular o valor de qualquer uma das raízes quadradas que aparecem na racionalização, diga se este número é maior ou menor que \sqrt{5}/2. Explique seu raciocínio.

(b) Três aumentos consecutivos de 20\% em um preço correspondem a qual aumento único de quantos porcento?​

Answer 1

O número simplificado será igual a $\frac{5.\sqrt{5}}{2+\sqrt{13}}}$ que é maior que $\frac{\sqrt{5} }{2}$. Já os aumentos consecutivos podem ser representados pelo único aumento de 72,8%.

a) O número simplificado será igual a $\frac{5.\sqrt{5}}{2+\sqrt{13}}}$ que é maior que $\frac{\sqrt{5} }{2}$.

Para simplificarmos o número $\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2\;}}$ devemos utilizar as propriedades de radiciação:

• √x² = $x^{\frac{2}{2}} = x^1 = x$

• $\sqrt{a.b} =\sqrt{a}. \sqrt{b}$

Simplificando o número:

$\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2\;}} = \frac{\sqrt{5.9}+\sqrt{5.4}}{\sqrt{13}+\sqrt{4\;}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{9}+\sqrt{5}.\sqrt{4}}{\sqrt{13}+\sqrt{4\;}}$

$\frac{\sqrt{5}.(\sqrt{9}+\sqrt{4})}{\sqrt{13}+2}}=\frac{\sqrt{5}.(3+2)}{\sqrt{13}+2}}=\frac{5.\sqrt{5}}{2+\sqrt{13}}}$

O número será maior que $\frac{\sqrt{5} }{2}$, pois o numerador é 5 vezes maior que √5, enquanto o denominador será apenas cerca de 3 vezes maior (√13 está entre 3 e 4).

Ou seja, a proporção entre numerador e denominador é maior, indicando que o número será maior que $\frac{\sqrt{5} }{2}$.

b) Os aumentos consecutivos podem ser representados pelo único aumento de 72,8%.

Para sabermos o aumento equivalente aos três consecutivos, basta multiplicarmos o percentual em relação ao preço inicial três vezes.

Sendo assim,  o preço será:

Pfinal = Pin*1,2*1,2*1,2

Pfinal = Pin*(1,2)³

Pfinal = Pin*1,728

Portanto o aumento será de:

Aumento = Pin*1,728 - Pin = Pin(1,728 - 1) = 0,728*Pin

Enfim, o aumento percentual pode ser calculado:

% aumento = 100*0,728*Pin/Pin  = 100*0,728 = 72,8%

Espero ter ajudado!