Question

A r$ 30;00 o ingresso os shows de uma banda na cidade de pedreiras atram 500 espectadores. Se cada variação de r$1,00 no preço do ingresso faz várias o público em 20 espectadores qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja máxima?

Answer 1

Resposta:

27,5 reais.

Explicação passo-a-passo:

x = quantidade de variações

Receita = Quantidade vendida x Valor de cada ingresso

R = (500 + 20x) . (30 -x)

R = 15000  - 500 x +600x - 20x²

R(x) = -20x² +100x + 15000

Em uma equação do segundo grau, o Xv indica o valor para que o Y(nesse caso, a receita seja máxima).

Logo:

xv = -b/2a

Xv =  -100/2*-20

Xv = 2,5

Logo, deve haver uma diminuição de 2,5 reais no ingresso, para que a receita seja máxima: 30 - 2,5 = 27,5

Answer 2

Para que a receita seja máxima, o ingresso deve ser vendido a R$ 27,50.

Função quadrática

Função quadrática é toda função que possui a forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a \neq 0$ e cuja representação no plano cartesiano é uma parábola.

Nas funções quadráticas, é possível determinar as coordenadas do vértice, que corresponde ao valor máximo ou mínimo, a depender da função. Estas fórmulas são:

$X_v = \frac{-b}{2a} \\\\Y_v = \frac{-\Delta}{4a}$

No caso desta questão, observe que, sendo x a quantidade de reduções, o novo preço será 30 - x e a quantidade de expectadores será 500 + 20x. Como a receita é o produto entre o valor do ingresso e a quantidade de expectadores, a receita em função da quantidade de reduções $R(x)$ é dada por:

$R(x) = (30-x)(500 + 20x)\\\\R(x) = 15.000 + 600x - 500x - 20x^2\\\\R(x) = -20x^2 + 100x + 15.000$

Agora, aplicando a fórmula de x do vértice, encontraremos o valor de x que gera a receita máxima:

$X_v = \frac{-100}{2 \cdot (-20)} \\\\X_v = \frac{-100}{-40} = 2,5$

Como a redução deve ser de R$ 2,50, então o ingresso deve ser vendido a R$ 30,00 - R$ 2,50 = R$ 27,50 para que a receita seja máxima.

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