Question

a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?

Answer 1

Palíndromos são números que não mudam quando seus algarismos são arranjados na ordem reversa, isto é, do fim para o começo.

Sendo  $\mathsf{n_k}$  a quantidade de palíndromos que é possível formar com  k  dígitos,  k ∈ {1, 2, 3, 4},  aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, calculemos essa quantidade para:


•  palíndromos com  1  dígito, que têm a seguinte forma:   X 

Há  9  possibilidades para o dígito das unidades:  {1, 2, 3, ... , 8, 9}.

     n₁ = 9        ✔


•  palíndromos com  2  dígitos, que têm a seguinte forma:   XX 

Há  9  possibidades para o dígito das dezenas, e este por sua vez já determina o das unidades:

     n₂ = 9 · 1

     n₂ = 9        ✔


•  palíndromos com  3  dígitos, que têm a seguinte forma:   XYX 

Há  9  possibilidades para o dígito das centenas, e  10  possibilidades para o dígito das dezenas. O dígito das unidades já está determinado:

     n₃ = 9 · 10 · 1

     n₃ = 90        ✔


•  palíndromos com  4  dígitos, que têm a seguinte forma:   XYYX 

Há  9  possibilidades para o dígito das unidades de milhar e  10  possibilidades para o dígito das centenas. O dígito das dezenas e das unidades já estão determinados:

     n₄ = 9 · 10 · 1 · 1

     n₄ = 90


Logo, o total procurado é

     n = n₁ + n₂ + n₃ + n₄

     n = 9 + 9 + 90 + 90

     n = 18 + 180

     n = 198


Há  198  naturais palíndromos de  1  até  9999,  inclusive estes dois extremos.


Observação:  Caso a preposição "entre" exclua os extremos, então o resultado procurado exclui o  1  e o  9999,  que são duas possibilidades. Nesse outro cenário, a resposta seria  198 − 2 = 196.


Bons estudos! :-)